44 Вопрос. Глобальные свойства непрерывных функций.

1. Функция, непрерывная на отрезке (или любом другом компактном множестве), равномерно непрерывна на нём.

2. Функция, непрерывная на отрезке (или любом другом компактном множестве), ограничена и достигает на нём свои максимальное и минимальное значения.

3. Областью значений функции , непрерывной на отрезке , является отрезок где минимум и максимум берутся по отрезку .

4. (Теорема о существовании корня) Если функция непрерывна на отрезке и то существует точка в которой .

5. Если функция непрерывна на отрезке и число удовлетворяет неравенству или неравенству то существует точка в которой .

6. Непрерывное отображение отрезка в вещественную прямую инъективно в том и только в том случае, когда данная функция на отрезке строго монотонна.

7. Монотонная функция на отрезке непрерывна в том и только в том случае, когда область ее значений является отрезком с концами и .

8. Если функции и непрерывны на отрезке , причем и то существует точка в которой Отсюда, в частности, следует, что любое непрерывное отображение отрезка в себя имеет хотя бы одну неподвижную точку.

Билет 45. Следствия из числа е.

1) lim((1+)*1/=e – прологарифмируем данное уравнение по основанию а:

log_a lim(1+*1/=log_ae

Логарифмическая функция непрерывна в своей области определения , поэтому :

limlog_a(1+)*1/=log_ae

2) lim ( log_a(1+)/=log_ae частный случай a=e.

3) lim((ln(1+)/=1

4) lim (a*-1)/=lna – 2-ое следствие.

5) lim(e*-1)/=1, a=e.

6) lim((1+)*-1)/= (-const) ln(1+)=ln(1+)

Число е. Задача о непрерывном начислении процентов.

1) Числом е называется предел : lim(n)*(1+1/n)*n=lim(n)(1+1/n)*n=lim(0)(1+)*1/=e.

Это число иррационально и приближенно = 2,71828. Логарифмы с основанием е называется натуральными и обозначается logex=ln x.

2) В банках процентные деньги присоединяются к основному капиталу ежегодно, если присоединяются чаще, то капитал растет быстрее. П-Р: в банк положено 100 руб. из расчета 100 % годовых.

Если проц. деньги будут присоединены к основному капиталу по истечении года, то 100 р. превратятся в 200 р.

Если проц. деньги присоединять к основному капиталу каждые полгода, то 100 руб. вырастут в 100  1,5 = 150, а еще через полгода - в 150  1,5 = 225.

Если присоединены каждые 1/3 года, то по истечении года будет 100  (1 +1/3) 237.

Учащая сроки присоединения проц. денег до 0,1 года, до 0,01 года, до 0,001 года и т.д, то 100  (1 +1/10)10  259 , 100  (1+1/100)100  270, 100 (1+1/1000)1000  271 наращенный капитал приближается к н-рому пределу, = приблизительно 271.

Более чем в 2,71 раз капитал, положенный под 100% годовых, увеличиваться не может, даже если бы наросшие % присоединялись каждую сек, т.к: е = .

Билет 46. Асимптоты.

При исследовании функций часто бывает, что при удалении координаты х точки кривой в бесконечность кривая неограниченно приближается к некоторой прямой. Понятие асимптоты играет важную роль в математическом анализе. Они проводятся при изучении свойств многих кривых (гиперболы, конхоиды, логарифмич. линии, циссоиды и др.).

Асимптотой графика функции у=f(x) называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки (х, f(x)) до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат.

Прямая x  =  a называется вертикальной асимптотой графика функции f  ( x ) при x  →  a, если выполнено хотя бы одно из условий , 

Если предел функции f(x)=a, то прямая у = а называется горизонтальной асимптотой.

.

Наклонная асимптота — прямая вида при условии существования пределов

1. 

2. 

Замечание: функция может иметь не более двух наклонных(горизонтальных) асимптот!

Замечание: Если хотя бы один из двух упомянутых выше пределов не существует (или равен ), то наклонной асимптоты при (или ) не существует!

горизонтальная асимптота является частным случаем наклонной при

Применение пределов в экономических расчетах

Сложные проценты В практических расчетах в основном применяют дискретные проценты, т.е. проценты, начисляемые за фиксированные одинаковые интервалы времени (год, полугодие, квартал и т. д.). Время - дискретная переменная. В некоторых случаях - в доказательствах и расчетах, связанных с непрерывными процессами, возникает необходимость в применении непрерывных процентовПотоки платежей. Финансовая рента Контракты, сделки, коммерческие и производственно-хозяйственные операции часто предусматривают не отдельные разовые платежи, а множество распределенных во времени выплат и поступлений. Отдельные элементы такого ряда, а иногда и сам ряд платежей в целом, называется потоком платежей. Члены потока платежей могут быть как положительными (поступления), так и отрицательными (выплаты) величинами.

Производная, правила и формулы дифференцирования На основе определения производной и правил дифференцирования можно составить список табличных производных основных элементарных функций.

Пусть мы нашли для функции y=f(x) ее производную y ¢ = f ¢ (x). Производная от этой производной называется производной второго порядка функции f(x), или второй производной, и обозначается  , u=x ⁴ +1. Замена переменной; интегрирование по частям Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

Предельный анализ в экономике - совокупность приемов исследования изменяющихся величин затрат или результатов при изменении объемов производства, потребления и т.п. на основе анализа их предельных значений. Большей частью плановые расчеты, основывающиеся на обычных статистических данных, ведутся в форме суммарных показателей. При этом анализ заключается главным образом в вычислении средних величин. Нахождение производительности труда

Экстремум функции Функция y=f ( x ) называется возрастающей ( убывающей ) в некотором интервале, если при x ₁ < x ₂ выполняется неравенство f (x ₁ ) < f (x ₂ ) ( f (x ₁ ) > f (x ₂ )). Пример . Нужно построить прямоугольную площадку возле каменной стены так, чтобы с трех сторон она была отгорожена проволочной сеткой, а четвертой стороной примыкала к стене. Для этого имеется a погонных метров сетки. При каком соотношении сторон площадка будет иметь наибольшую площадь?

Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя

Частные производные. Метод наименьших квадратов В экономике рассматриваются функции не только от двух, но и большего числа независимых переменных. Например, уровень рентабельности R зависит от прибыли П на реализованную продукцию, величин основных ( a ) и оборотных ( b ) фондов, R = П/( a+b ), т.е. R является функцией трех независимых переменных R = f (П, a , b ). Частными производными второго порядка функции z = f ( x , y ) называются частные производные от ее частных производных первого порядка. Если первая производная была взята, например, по аргументу x , то вторые производные обозначаются символами  d _tdt , а современная величина платежа P = S ex (-  ,

и пусть, кроме того, дефицит в расходах правительства прямо пропорционален доходу Y (при коэффициенте пропорциональности q ). Решить уравнение y ¢¢¢ = cos x. Решить уравнение y ¢¢ - y = 0.

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид k ² - 1 = 0, корни которого k ₁ = 1, k ₂ = -1 действительны и различны.

Разностные уравнения На практике простейшие разностные уравнения возникают при исследовании например величины банковского вклада. Эта величина является переменной Y _x , представляющей сумму, которая накапливается по установленному закону при целочисленных значениях аргумента x . Пусть сумма Y _o положена в банк при условии начисления 100 r сложных процентов в год. Пусть начисление процентов производится один раз в год и x обозначает число лет с момента помещения вклада ( x = 0, 1, 2,...). Обозначим величину вклада по истечении x лет через Y _{x . Обыкновенным разностным уравнением называется уравнение, связывающее значения одного независимого аргумента x , его функции Y x и разностей различных порядков этой функции D Y x , D} ² _Y x, D ³ _{Y x,.... Такое уравнение можно записать в общем виде следующим образом:j ( x , Y x , D Y x , D} ² _Y x D ³ _{Y x, D} ⁿ _{Y x ) = 0, (10.1)}

Производная функции y = f ( x ) может также обозначаться одним из следующих способов:       В физике производную по времени t часто обозначают точкой: 

Билет 48. Производная. Геометрический, механический и экономический смысл производной. Эластичность функций.

Производной функции y=f(x) в точке х называется предел lim(xo)(f(x+x)f(x))/x=lim(xo)(y/x).

Если этот предел конечный, то функция называется дефферинцируемой в точке х, при этом она оказывается обязательно и непрерывной в этой точке. Если предел равен + или -, то ф-ия f(x) имеет в точке х бесконечную производную.

Нахождение производной – дифференцирование функции.

Геометрический смысл: это угловой коэффициент касательной к данной точке.

Механический смысл: производная от пути по времени личная скорость.

Экономический смысл: производная, вычисленная от кол-ва произведённой продукции в данный момент времени есть производительность труда.

Эластичностью функции называется Ex(y) предел отношения относительного приращения к относительному приращению переменной х при хо: Ex(y)=lim(xo)(y/y:x/x)=lim(xo)(y umn x/y umn x)=x/ylim(xo)(y/x)=x/y umn y’ Ex(y)=x/y umn y’

Эластичность функции показывает приближённо насколько процентов изменяется функция у при изменении независимой переменной х на 1%. Если Ex(y)<1 – спрос не эластичен, Ex(y)>1 – спрос эластичен. Ex(y)=1 –cпрос нейтральный

Формула для приращения функции. Дифференциал функции.

Формула малых приращений

Подставив (2) в (1) и отбросив ω(x - x₀), получаем формулу малых приращений:

Δf(x₀) ≈ df(x₀)

или

f(x) ≈ f(x₀) + f'(x₀)(x - x₀),     (4)

позволяющую при малых значениях x - x₀ приближенно вычислять значения функции f в точках x, близких к точке x₀, где значения функции f и ее производной известны.