- •9. Вырожденные и невырожденные матрицы. Ранг матрицы. Теорема о ранге матрицы.
- •Уравнение плоскости по трем точкам:
- •4. Уравнение плоскости по точке и двум неколлинеарным векторам
- •Геометрический смысл предела числовой последовательности
- •Основные свойства сходящихся последовательностей
- •Арифметические действия над последовательностями, имеющими предел
- •1. Бесконечно малые функции при х
- •2. Предел функции при х и его свойства.
- •1. Бесконечно малые функции при х а
- •2. Предел функции в точке
- •3. Односторонние пределы
- •44 Вопрос. Глобальные свойства непрерывных функций.
- •Формула конечных приращений
- •Понятие дифференциала
- •Свойства дифференциала. Инвариантность формы дифференциала
- •51Производные основных элементарных функций
- •53 Вопрос. Логарифмическая производная. Производная функции u(X)V(X).
- •56 Вопрос. Направление вогнутости. Точки перегиба.
- •64 Вопрос. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Матрица Гессе.
- •66 Экстремум функции нескольких переменных
- •Билет 70. Неопределенный интеграл. Простейшие свойства.
- •Для неопределённого интеграла
- •Для определённого
- •Метод замены переменной (метод подстановки)
- •72Интегрирование дробно-рациональных функций
2. Предел функции при х и его свойства.
Определение 2. Число b называют пределом функции f(x) при х , если f(х)—b есть бесконечно малая функция при х ; пишут
В частности, из этого определения следует, что , ,где (х)-бесконечно малая при х функция.
Воспользовавшись для бесконечно малой функции f(х) — b определением 1, получим другое определение предела, эквивалентное предыдущему.
Определение 3. Число b называют пределом функции f(х) при х , если для любого > 0 существует М > 0 такое, что при всех х > М выполняется неравенство |f(x)-b|< . Короче:
( > 0)( M > 0) ( х > М) |f(x)-b|< .
Определение 2 условимся называть определением предела «на языке бесконечно малых», а определение 3 — «на языке — М».
Итак, геометрический смысл равенства состоит в следующем: прямая у=b является горизонтальной асимптотой графика функции у = f(х)(при x ).
3. Предел функции при х , при х .
Наряду с функциями, бесконечно малыми при x , рассматривают и функции, бесконечно малые при х . Таковыми являются, например, функции f(х) = 1/х, g(х)= —2/х2, рассмотренные на луче (— ,0). Ось х является горизонтальной асимптотой графика каждой из этих функций .
Определение 4. Функцию (х), определенную на некотором луче (— , а], называют бесконечно малой при х , если для любого >0 существует число М > 0 такое, что при всех х<—М выполняется неравенство | (x)|< .
Существуют функции, бесконечно малые как при х , так и при х . Таковы обе рассмотренные выше функции 1/х и —2/х2 (ось х является горизонтальной асимптотой графика обеих функций как в положительном, так и в отрицательном направлении).
Поскольку вместо двух неравенств х > М, х < — М можно написать одно: |x|>M, получаем следующее определение.
Определение 5. Функцию (х), определенную на объединении двух лучей (- ,a1] [a2,+ ), называют бесконечно малой при х , если для любого > 0 существует число М > 0 такое, что для всех х таких, что |х| > М, выполняется неравенство | (х)|<е.
Для функций, бесконечно малых при x или при x , справедливы теоремы 1—5 (с соответствующими изменениями в формулировках и доказательствах).
Определение 6. Число b называют пределом функции f(х) при х
(х ), если f(х)—b есть бесконечно малая функция при
х (х ); пишут
Определение 6 «на языке бесконечно малых» можно дать в эквивалентной
форме «на языке :
Определение 7. Число b называют пределом функции f (х) при х , если для любого >0 существует М>0 такое, что при всех х таких, что |х|>М,выполняется неравенство |f(х)—b|< .
Геометрический смысл равенства состоит в следующем: прямая у = b является горизонтальной асимптотой графика функции у = f(х) (и в положительном, и в отрицательном направлении).
Предел функции в точке
1. Бесконечно малые функции при х а
Прежде чем сформулировать строгое определение, заметим, что условие
х описывается неравенством |х| > М; условие же х a описывается неравенством |х — а| < . Кроме того (это отчетливо видно на рис 43), когда изучают поведение функции при х а, саму точку х = а не принимают во внимание, т. е. считают, что х а, и потому |х — а| > 0.
Определение 1. Функцию (х) называют бесконечно малой при х а, если для любого > 0 существует > 0 такое, что при всех х из неравенства 0 < |х — а| < следует неравенство | (х)|< . Короче:
( > 0) ( > 0) (х : < |х – а| < ) | (х)| < .
Простейшими бесконечно малыми при х а являются функции х—а,
(х — а)2, (х — а)3 и т. д.
Определение 2. Функцию а(х) называют бесконечно малой при х а, если для любого > 0 можно указать проколотую -окрестность точки а, во всех точках х которой выполняется неравенство | (х)| < .
Свойства бесконечно малых функций при х а аналогичны свойствам
бесконечно малых функций при х .