- •9. Вырожденные и невырожденные матрицы. Ранг матрицы. Теорема о ранге матрицы.
- •Уравнение плоскости по трем точкам:
- •4. Уравнение плоскости по точке и двум неколлинеарным векторам
- •Геометрический смысл предела числовой последовательности
- •Основные свойства сходящихся последовательностей
- •Арифметические действия над последовательностями, имеющими предел
- •1. Бесконечно малые функции при х
- •2. Предел функции при х и его свойства.
- •1. Бесконечно малые функции при х а
- •2. Предел функции в точке
- •3. Односторонние пределы
- •44 Вопрос. Глобальные свойства непрерывных функций.
- •Формула конечных приращений
- •Понятие дифференциала
- •Свойства дифференциала. Инвариантность формы дифференциала
- •51Производные основных элементарных функций
- •53 Вопрос. Логарифмическая производная. Производная функции u(X)V(X).
- •56 Вопрос. Направление вогнутости. Точки перегиба.
- •64 Вопрос. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Матрица Гессе.
- •66 Экстремум функции нескольких переменных
- •Билет 70. Неопределенный интеграл. Простейшие свойства.
- •Для неопределённого интеграла
- •Для определённого
- •Метод замены переменной (метод подстановки)
- •72Интегрирование дробно-рациональных функций
Геометрический смысл предела числовой последовательности
Число a – предел последовательности xn, если в любую окрестность числа а, начиная с некоторого номера попадают все члены последовательности .
Пример 17.4.
Показать, что последовательность не имеет предела. Действительно, пусть а – предел xn..
Выберем интервал с длиной . Расстояние между -1 и 1 равно 2 и, следовательно, они оба не могут попадать в этот интервал.
Основные свойства сходящихся последовательностей
Теорема 17.2.
Если последовательность {xn} имеет предел, то он единственный.
Доказательство
Пусть {xn} имеет два предела a и b. Накроем их интервалами(c,d) и (e,f) (т.е. ) Т.к. a=lim xn , то все элементы {xn} начиная с некоторого номера лежат в (c,d) и значит это противоречит тому, что b – предел.
Теорема 17.3.
Если последовательность {xn} сходится, то она ограничена.
Доказательство
Пусть . Зададим . Тогда : .
Известно, что ,
поэтому <1
.
Пусть ,
тогда очевидно, что .
Арифметические действия над последовательностями, имеющими предел
Замечание 1.
Пусть , тогда - бесконечно малая последовательность.
Действительно, .
Это значит, что любой элемент последовательности {xn}, имеющей пределом число , можно представить в виде:
(17.1).
Замечание 2.
Произведение бесконечно малой последовательности на число есть бесконечно малая последовательность.
Замечание 3.
Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность есть бесконечно малая последовательность.
Замечание 4.
Так как , то .
Теорема 17.4.
Если существуют конечные пределы последовательностей и , то справедливы равенства:
1) (17.2)
2) (17.3)
3) если (17.4).
Доказательство
Идея доказательства построена на неравенстве:
.
Пусть , . Тогда согласно равенству (17.1):
1) - бесконечно малая последовательность (согласно 17.1);
2) (бесконечно малая последовательность);
3) (бесконечно малая последовательность).
Предел функции на бесконечности
Понятие предела функции на бесконечности является в определенном смысле обобщением понятия предела последовательности, поэтому настоящий параграф мы построим по аналогии с параграфом о пределе последовательности.
1. Бесконечно малые функции при х
Рассмотрим на луче [1, + ] функции f(x)=1/х и g(х) = — 2/х2. Их графики обладают общей особенностью: неограниченно (в математике говорят «асимптотически») приближаются к положительному направлению оси х. Ось х называется горизонтальной асимптотой графика той и другой функции. Такие функции называют бесконечно малыми при x . Более строгое определение почти дословно повторяет определение бесконечно малой последовательности.
Определение 1. Функцию (х), определенную на некотором луче [Q,+ ), называют бесконечно малой при х , если для любого > 0 существует число М>0 такое, что при всех х>М выполняется неравенство | (х)| < в. Короче:
( >0)( M>0)( )| (x)|< .
Свойства бесконечно малых при х функций аналогичны свойствам бесконечно малых последовательностей.
Теорема 1. Постоянная функция у=с является бесконечно малой при х тогда и только тогда, когда с=0.
Теорема 2. Если (х) — бесконечно малая функция при х и для всех х из некоторого луча [Q,+ ), выполняется неравенство | (x)| | (x)|, то и (х) есть бесконечно малая функция при х .
Теорема 3. Если (х) — бесконечно малая функция при x , то она является ограниченной на некотором луче [М, + ).
Эти теоремы мы приводим без доказательств, так как они легко следуют из определения 1.
Теорема 4. Сумма двух бесконечно малых при х функций также является бесконечно малой при х функцией.
Теорема 5. Если (х) — бесконечно малая при х функция, а у=f(х) — ограниченная функция на некотором луче [а, + ), то их произведение является бесконечно малой при х функцией.
Следствие 1. Если (х) — бесконечно малая при х функция, то и с (х), где с — любое действительное число, также является бесконечно малой при х функцией.
Следствие 2. Произведение двух (и вообще любого конечного числа) бесконечно малых при х функций есть бесконечно малая при х функция.
Следствие 3. Если 1(х), 2(х), ..., n(х)—бесконечно малые при х функции, то и c1 1(х) + c2 2(х) + ••• + cn n(x) (где С1, ..., Сn — действительные числа) также является бесконечно малой при х функцией.
Например, функция у= есть бесконечно малая при x .