2. Предел функции в точке

Определение 3. Число b называют пределом функции f(х) при х а, если f(х)—b является бесконечно малой функцией при х а; пишут 

Воспользовавшись для бесконечно малой функции f(х)—b определениями

1 и 2, получим еще два определения, эквивалентные предыдущему.

Определение 4. Число b называют пределом функции f(х) при х  а, если для любого   > О существует   > 0 такое, что из неравенства О < |х—а| <   следует неравенство |f(х)—b| <  . Короче:

( >0)( >0)( :0<|х-а|< )|f(x)-b|< .

Определение 5. Число b называют пределом функции f(х) при х  а, если для любого  >0 можно указать такую проколотую  -окрестность точки а, в которой выполняется неравенство |f(х) —b|< .

Определение 3 условимся называть определением предела функции в точке «на языке бесконечно малых», определение 4—«на языке е— »,определение 5 — «на языке окрестностей».

3. Односторонние пределы

Определение 6. Число b называется левосторонним пределом функции f(х) при х а, если для любого  >0 существует  >0 такое, что при всех х из неравенства 0<а—х<  следует неравенство |f(x)-b|< .

Число b называется правосторонним пределом функции f(х) при х  а, если для любого   > 0 существует   > 0 такое, что при всех хиз неравенства 0<x—а <   следует неравенство |f(x)-b|<  .

Билет 42. Непрерывность функции. Классификация точек разрыва.

Функция , называется непрерывной в точке , если выполняется одно из эквивалентных условий:

1. ;

2. для произвольной последовательности (x_n) значений , сходящейся при n → ∞ к точке x₀, соответствующая последовательность (f(x_n)) значений функции сходится при n → ∞ к f(x₀);

3. или f(x) - f(x₀) → 0 при x - x₀ → 0;

4. такое, что

Из определения непрерывности функции f в точке x0 следует, что

Если функция f непрерывна в каждой точке интервала ]a, b[, то функция f называется непрерывной на этом интервале.

Если функция f (x) не является непрерывной в точке x = a, то говорят, что f (x) имеет разрыв в этой точке. На рисунке 1 схематически изображены графики четырех функций, две из которых непрерывны при x = a, а две имеют разрыв.

Непрерывна при x = a. Имеет разрыв при x = a.

Непрерывна при x = a. Имеет разрыв при x = a.

Классификация точек разрыва функции.

Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода.

Говорят, что функция f (x) имеет точку разрыва первого рода при x = a, если в это точке.

- Существуют левосторонний предел и правосторонний предел ;

- Эти односторонние пределы конечны.

При этом возможно следующие два случая:

- Левосторонний предел и правосторонний предел равны друг другу:

Такая точка называется точкой устранимого разрыва.

- Левосторонний предел и правосторонний предел не равны друг другу:

Такая точка называется точкой конечного разрыва. Модуль разности значений односторонних пределов называется скачком функции.

Функция f (x) имеет точку разрыва второго рода при x = a, если по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.

Билет 43. Первый замечательный предел.

Первый замечательный предел имеет вид:

На практике чаще встречаются модификации первого замечательного предела в виде

где, k – коэффициент.

Пояснение:

Следствия первого замечательного предела:

2.

Эти следствия очень просто доказываются, если использовать правило Лопиталя или замену эквивалентных бесконечно малых функций.