102.Уравнения с разделяющимися переменными. Автономные уравнения.

Уравнения с разделяющимися переменными – уравнения вида y' =f(x)g(y), где f(x) и g(y)

– непрерывные функции. Все постоянные решения находятся из уравнения

g(y)=o.Рассмотрим случай g(y)≠0.

𝑑𝑦/𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑦);𝑑𝑦/𝑔(𝑦) = 𝑓(𝑥)𝑑𝑥; ∫𝑑𝑦/𝑔(𝑦) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥;G(y)=F(x)+C, где С -произвольная

постоянная. Выразив y, получим явное представление решений.

Автономные уравнения – частный случай уравнений с разделяющимися переменными,

уравнения вида y' =g(y).

Теорема. Если y=f(x)-решение автономного дифференциального уравнения, то y=f(x+C) также является решением этого уравнения.

Док-во. Пусть y=f(x) – решение уравнения, т.е. f '(x)=g(f(x));f '(x+C)=g(f(x+C)).

Положим ₒy=f(x+C)→0; y' =f'(x+C)·(x+C)'= g(f(x+C))·1=g(ₒy)→0y=f(x+C)-также

решение.

101. Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши для уравнения первого порядка в нормальной форме.

Если в некоторой окрестности точки (x₀, y₀) функция f (x, y) определена, непрерывна и

имеет непрерывную частную производную fy `, то существует такая окрестность точки (X0,y<sub>0</sub> )б в которой задача Коши y`=f(x,y), y(x₀ )=y 0 имеет решение, притом единственное.

100. Разложение в ряд Маклорена функций e^x, sin x, cos x, 1/1+x, Ln(1+x),(1+x)^a

99. Достаточное условие разложимости функции в ряд Маклорена

Пусть функция f(x) определена и бесконечно дифференцируема в интервале (-r, r). Если

существует такая константа М, что во всех точках указанного интервала выполняются

неравенства │ f⁽ⁿ⁾(x)│< (n=0,1,2…), то в этом интервале ряд Маклорена сходится

к функции f(x).

98. Ряды Тейлора (Маклорена)

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x=0 и имеет в этой точке

производные всех порядков. Степенной ряд f(0)+f’(0)/1!+(f’’(0)/2!)*x²+...+(f⁽ⁿ⁾(0)/n!)*xⁿ+…

называют рядом Маклорена для функции f(x).

97.Интегрируемость и дифференцируемость суммы степенного ряда на интервале сходимости.

Пусть функция f(x) разлагается на интервале (-R, R) в степенной ряд f(x)=а0 +а1 +а2x²

+…+аn xⁿ+…. Рассмотрим степенной ряд а1 +2а₂x+…+nа_nx^n-1+…, полученный почленным дифференцированием ряда f(x)= а0 +а1 +а₂x²+…+а_nxⁿ+…. Тогда: 1) ряд а1 +2а₂x+…+nа_nx^n-1+… имеет тот же радиус сходимости R, что и ряд f(x)=а0 +а1 +а2x²+…+а_nxⁿ+…; 2) на всем интервале (-R, R) функция f(x) имеет производную f`(x), которая разлагается в степенной ряд а₁ +2а₂ x+…+nа_n x^n-1+….

Если функция f(x) разлагается в степенной ряд на интервале (-R, R), то она интегрируема

в этом интервале. Интервал от суммы ряда равен сумме интегралов от членов ряда.

96. Интервал и радиус сходимости степенного ряда

Для степенного ряда а0 +а1 +а2x+…+аn x+… возможны только три случая: 1) ряд сходится

в единственной точке x=0; 2) ряд сходится для всех значений x; 3) существует такое R>0,

что ряд сходится для всех значений x из интервала (-R, R) и расходится для всех значений

x вне отрезка [-R,R]. Интервал (-R, R) называют интервалом сходимости ряда

а0 +а1 +а2x²+…+аn xⁿ+…, а число R – радиусом сходимости этого ряда. Если существует предел D=lim (n→∞) │a_n+1/a_n│, отличный от нуля, то радиус сходимости степенного ряда

а0 +а1 +а2x²+…+а_nxⁿ+… равен R = 1/D = lim (n→∞) │a_n+1/a_n│.

95. Теорема Абеля

1) Если степенной ряд а0 +а1 +а2x+…+аn x+… сходится при некотором x=x0 , не равном

нулю, то он сходится, и притом абсолютно, при всех x, удовлетворяющих условию |x|<|x0|;

2) если ряд а0 +а1 +а2 x²+…+а n xⁿ +… расходится при некотором x=x 1 , то он расходится при всех x, удовлетворяющих условию |x|>|x1|.

94. Степенные ряды

Ряд вида а0 +а1 +а2x²+…+аn xⁿ+…, где а 0, а 1, а 2, …, а n … - некоторая числовая последовательность, называют степеннымрядом.

93. Признак Лейбница для знакочередующихся числовых рядов.

Если члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине и стремятся к

нулю, когда n–>∞, то:1) ряд сходится; 2) любой остаток ряда не превосходит по абсолютной величине первого из своих членов и имеет одинаковый с ним знак.

92.Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.

Числовой ряд, содержащий бесконечное множество положительных и бесконечное

множество отрицательных членов, называется знакопеременным. Частным случаем

знакопеременного ряда является знакочередующийся ряд, то есть такой ряд, в котором

последовательные члены имеют противоположные знаки. Ряд а 1 +а 2 +…+аn …называется абсолютно сходящимся, если ряд |а1 |+|а2 |+…+|аn |+…также сходится, т.е. сходится ряд, составленный из модулей его членов. Ряд а1 +а2 +…+а_n +…называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.