83.Геометрические приложения двойных интегралов: вычисление площадей плоских фигур и объемов пространственных тел.

Определение.

Если существует конечный предел интегральных сумм при λ→0 то функция f(x;y) называется интегрируемой в области D.Значение этого предела называется двойным интегралом по области D ∫∫f{x, y)dxdy

Геометрический смысл двойного интеграла.

Рассмотрим непрерывную неотрицательную функцию z=f(x;y)>=0при любом значении (x,y) принадлежащем D. Ее графиком будет поверхность в пространстве OXYZ. Тогда двойной интеграл D ∫∫ f(x, y)dxdyпредставляет собой объем прямого цилиндрического тела, ограниченного снизу областью D,а сверху поверхностью z= f(x,y)

Если подынтегральная функция f(x;y)тождественного равна единице в области D, то значение двойного интеграла совпадает с площадью области интегрирования:

∫∫_D f(x,y) dxdy = σ (D) где σ (D) – площадь D/

84. Несобственные кратные интегралы. Интеграл Эйлера-Пуассона.

ПустьGGR²— неограниченное множество, f(x,у) - функция, интегрируемая по

всякому подмножеству в G вида G∩ D, где D- ограниченное множество с границей нулевой площади. Если для любого допустимого семейства {D_t}предел lim _t→∞∫∫ _{G∩ D} f(x,y)dxdy

существует и не зависит от выбора семейства {D_t},то данный

предел обозначается G∫∫f(x,y)dxdyи называется несобственным двойным интегралом от f по G.

85. Числовые ряды.

Определение.

Пусть дана числовая последовательность а₁,а₂, а₃....а_n. Выражение вида

называют числовым рядом, или просто рядом.

Числа а₁ ,а₂, а₃,..а_n , называют членами ряда, число а_п с общим номером п называют общим членом ряда.

Суммы конечного числа первых членов ряда

S₁= а₁ , S₂=a₁ + а₂ S_n=a₁+ а₂+... + а_n,

называют частичными суммами ряда. Так как число членов ряда бесконечно, то частичные суммы образуют числовую последовательность:

86. Последовательность частичных сумм. Сумма ряда. Сходящиеся ряды.

Пусть дана некоторая последовательность действительных чисел а_п. Тогда сумма бесконечного числа членов этой последовательности a₁+a₂+….+a_n+…=∑a_n

называется числовым рядом, а число а_п(n= 1,2,...) — членом ряда. Если член ряда а_п представлен в виде функции, натурального аргумента а_п= f(п), то его называют общим членом ряда. При этом сумму S_n= a₁+a₂+….+a_n первых п членов ряда называют его n-ой частичной суммой. Таким образом, мы можем образовать новую последовательность - последовательность частичных сумм S₁=a₁, S₂=a₁ + a₂, S₃=a₁ + a₂ + a₃, S_n=a₁ + a₂ +...+a_n. Если эта последовательность имеет конечный предел S= limS_n при n> ,то числовой ряд называется сходящимся, а число S— суммой ряда. В противном случае ряд называют расходящимся.

87.Свойства сходящихся рядов.

1.Если ряд (l) сходится, то сходится и любой ряд, полученный из него отбрасыванием конечного числа членов. Ряд: а _п+1+ а _п+2+ а _п+3+..=∑_k=n+1 a_k

полученный отбрасыванием первых п членов суммы (l), называется п-м остатком ряда. Таким образом, ряд (l) и любой его остаток сходятся или расходятся одновременно.

2.Если каждый член сходящегося ряда (l), сумма которого равна S, умножить на некоторое число к, то полученный ряд также сходится, и его сумма равна kS.

k а ₁+ k а ₂+…+ k а _n..+…=∑k ka_n

3.Если даны два сходящихся ряда с суммами S и Т соответственно, то новый ряд полученный почленным сложением исходных рядов, также сходится, и его сумма равна S+ T.

a₁+ a₂+…+ a_n+…=∑ a_k b₁+ b₂+…+ b_n+…=∑b_k

(a₁+b₁)+ (a₂+b₂)+…+ (a_n+b_n)+…=∑ (a_k+b_k)

4.Если ряд (1) сходится, то сходится и любой ряд, полученный из него группировкой слагаемых, и суммы рядов одинаковы.