78. Метод Лагранжа.
Пусть функции f и g1 ...gs определены и имеют непрерывные частные производные в окрестности точки х* причем, векторы
gradg1 (x*),..., gradgs (x*) линейно независимы. Тогда если х* - точка условного экстремума функции f при условиях *система* g1(x1,…xn)=0 ……. gs(x1,…xn)=0
то найдутся числа λ1….λs для которых х* - стационарная точка функции
L(x)=f(x)+λ1g1(x)+…+λsgs(x)
Функция Lназывается функцией Лагранжа, а числа множителями Лагранжа.
79. Наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на замкнутом ограниченном множестве.
Множество S называется ограниченным, если оно содержится внутри круга (для множества на плоскости) или внутри шара (для множества в пространстве), имеющего достаточно большой радиус. Множество называется замкнутым, если оно включает в себя все свои предельные точки.
Важным свойством непрерывных функций является следующее.
Пусть z= f(x,у) — непрерывная функция, a S— замкнутое и ограниченное множество, лежащее в области определения функции f. Тогда в S существуют точки, в которых функция принимает свои наибольшее и наименьшее значения, множество значений представляет собою отрезок [fнаим. Fнаиб.].
80. Кратные интегралы и их свойства. Условия интегрируемости функции.
Определение.
Если существует конечный предел интегральных сумм при λ→0 то функция f(x;y) называется интегрируемой в области D.Значение этого предела называется двойным интегралом по области Dff{x, y)dxdy
свойства двойного интеграла.
1.Если функция f(x;y)интегрируема в области D,то для любого числа к функция kf(x;y)также интегрируема в D и ∫∫D kf (x,y) dxdy=k∫∫D f(x,y)dxdy
2.Если функции f(x;y)и g(x;y)интегрируемы в области D,то их алгебраическая сумма также интегрируема в этой области и ∫∫D(f(x,y)±g(x,y))dxdy= ∫∫D f(x,y)dxdy±∫∫D g(x,y)dxdy
3. Если функции f(x;y)и g(x;y)интегрируемы в области D и f(x; у) <= g(x; у) во всех точках D, то
∫∫D f(x,y)dxdy <=∫∫D g(x,y)dxdy
4.Если функция f(x;y)ограничена на множестве Г нулевой площади, то
∫∫Г f(x,y)dxdy=0
5.Свойство аддитивности интеграла. Если область интегрирования Dможет быть разбита на две части D1 и D2, не имеющих общих внутренних точек, так, что D=D1 объединение D2, и f(x;y)интегрируема в D]и D2,то в области Dэта функция также интегрируема, и
∫∫D f(x,y)dxdy=∫∫D1 f(x,y)dxdy+∫∫D2 f(x,y)dxdy
6.Теорема о среднем. Если функция f(x;y)непрерывна в области D,то в этой области найдется такая точка (ε, ζ),что
∫∫D f(x,y)dxdy= f(ε, ζ)σ(D)
Если функция f(x, у) определена и непрерывна в прямоугольнике Р = {а=<х = <Ь, с = <у =<d),то существует двойной интеграл P ∫∫ f dxdy
Пусть G— ограниченная область, f— ограниченная функция на G,Г — объединение границы G и множества точек разрыва f на G. Предположим, что площадь Г равна нулю. Тогда существует интеграл G ∫∫ f dxdy
81. Сведение кратного интеграла к повторному интегралу.
Если функция f(x,y) интегрируема в области G и при любом фиксированном x из [a,b] существует интеграл ∫∫g1(x)g2(x)f (x,y)dy справедлива формула
∫∫G f(x,y)dxdy =
82. Формула замены переменных в двойном интеграле. Использование полярных координат для вычисления двойных интегралов
∫∫D=f(x.y)dxdy= ∫∫f(r cos φ, r sinφ) rdrdφ
