36 Неопределенный интеграл
Определение:
Совокупностьвсехпервообразныхдляф-иf(x) намнонеопределенныминтеграломэтойфункции.
∫f(x)dx=F(x)+c,
где f(x)-подинтегральная ф-я ,f(x)dx – подинтегральное выражение.
37. Свойства неопределенного интеграла
1) Произвольнаянеопределённогоинтеграларавнаинтегральнойфункции,
дифференциалотнеопределённогоинтеграларавенподынтегральномувыражению:
[f(x)dx]’=f(x);𝑑 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥)𝑑𝑥.
2) Неопределённыйинтегралотдифференциаланекоторойфункцииравенэтой
функцииплюспроизвольнаяпостоянная, таккак
∫ 𝒅𝑭(𝒙) = 𝑭(𝒙) +𝑪. Поскольку 𝒅𝑭(𝒙) = 𝑭'(𝒙)𝒅𝒙, то∫ 𝒅𝑭(𝒙) = ∫ 𝑭'(𝒙)𝒅𝒙 = 𝑭(𝒙) + 𝑪 доказательство:
по определённому дифференциалу: d[f(x)dx] = (f(x)dx)’dx=f(x)dx
3) Постоянныймножительможновынестииз-подопределённогоинтеграла, точнее,
еслиk неравеннулю, то
∫ 𝒌𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝒌 ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙, 𝒙𝝐𝑫, 𝒌𝝐𝑹
4) Неопределённыйинтегралотсуммыфункцийравенсуммеинтегралослагаемых, тоесть:
∫[f1(x)+f2(x)]dx = ∫f1(x)dx +∫f2(x)dx/
5) ∫[f(x)+(-)g(x)]dx = ∫f(x)dx +(-)∫g(x)dx/
38. Формула замены переменной в неопределенном интеграле
Пусть функция 𝑥 > 𝜑(𝑡) определена и дифференцируема на промежутке Т и Х – множестве её значений, на котором определена функция f(x). Тогда, если F(x) – первообразная для f(x) на Х, то
𝐹(𝜑(𝑡)) – первообразная для 𝑓(𝜑(𝑡))* (𝜑’(𝑡)) на Т, то есть на множестве Т выполняется равенство:
∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥| 𝑥=𝜑(𝑡) = ∫(𝜑(𝑡))* (𝜑’(𝑡)) 𝑑𝑡,
Доказательство:
По правилу дифференцирования сложной функции производная левой части равна:
F’t ((𝜑(𝑡)) = F’t ((𝜑(𝑡))* 𝜑’(𝑡) = f(𝜑(𝑡)) 𝜑’(𝑡)
что совпадает с подынтегральной функцией в правой части равенства, это и доказывает
равенство в определении.
∫f(x)dx, x ∈D
39.Формула интегрирования по частям для неопределенного интеграла.
Пусть u = u(x), v = v(x) – две дифференцируемые функции на промежутке Х. Тогда на Х
выполняется формула интегрирования по частям:
d(u•v) = du•v + u•dv ⇒∫ d(u•v) = ∫du•v + ∫u•dv ⇒u•v = ∫v•du + ∫u•dv ⇒
∫u•dv = u•v - ∫v•du – формула интегрирования по частям
40.Определение определенного интеграла Римана.
Конечный lim x→0 называется определенным интегралом функции f (в смысле Римана) на отрезке [a, b] и обозначается пределом от а до б f(x)dx. В случае существования такого предела функция называется интегрируемой (по Риману) на отрезке .
41. Достаточное условие интегрируемости
Если выполнено одно из следующих условий :
функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b ]; функция f(x) ограничена на отрезке [a, b] и имеет на этом отрезке конечное число точек разрыва; функция f(x) монотонна на отрезке [a, b],
то f(x) интегрируема на отрезке [a, b] и, следовательно, интеграл от а до б f(x) dx существует
42. Геометрический смысл определенного интеграла
Если f(x) >0 на отрезке [a,b], то интеграл от а до б f(x) dx равен площади криволинейной трапеции ABCD, ограниченной снизу отрезком [a,b], слева и справа - прямыми x = a и x = b, сверху – функцией y = f(x).
43. Свойства определенного интеграла (написать на листик)
;
А
=const
;
;
;
;
44. Формула Ньютона-Лейбница
Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и F(x)- первообразная для f(x). Тогда: | f(x)dx = F(b) — F(a)
45. Формула замены переменной в определенном интеграле
Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b], а функция 𝑥 = 𝜑(𝑡) определена на отрезке[𝛼, 𝛽]
и имеет непрерывную производную внутри этого отрезка, причём 𝜑(𝛼) =𝑎, 𝜑(𝛽) = 𝑏 и 𝜑([𝛼, 𝛽]) = [𝑎, 𝑏] . Тогда: Интеграл от а до б F(x) = интегралу от а до б f(𝜑(𝑡)) 𝜑’(𝑡) 𝑑𝑡
46. Формула интегрирования по частям для определенного интеграла
Пусть u(x) и v(x) – две дифференцируемые функции на промежутке X. Тогда на Х
выполняется формула интегрирования по частям: ∫udv=uv-∫vdu
47. Определение несобственного интеграла с бесконечно нижним пределом
Пусть функция y=f(x) интегрируема на каждом конечном отрезке [a;b] (b>a). Тогда за несобственный интеграл от а до - бесконечности f(x)dx принимают предел функции: I (b) = интеграл от а до б f(x)dx, когда b стремится к бесконечности: Интеграл от а до бесконечности f(x)dx = lim где б→-∞ = интеграл от а до б f(x)dx. Если lim где б→-∞ = интеграл от а до б f(x)dx сущ-т и конечен, то несобственный интеграл Сходится, если наоборот Расходится.