106. Линейные дифференциальные уравнения. Фундаментальная система решений.

Определитель Вронского системы решений.

Дифференциальное уравнение n-го порядка называется линейным, если оно имеет вид

y⁽ⁿ⁾+a1 (x)y^(n-1)+a 2 (x)y^(n-2)+…+a n (x)y=f(x), где a1 (x), a2 (x), an (x), f(x) – непрерывные функции.

Лемма:

Пусть y1 (x), y2 (x),…, yk (x) – произвольные решения линейного однородного

дифференциального уравнения и C 1 , C 2 ,…, C k – произвольные постоянные, тогда

линейная комбинация C1 y1 (x)+C2 y2 (x)+…+Ckyk (x) также является решением этого

уравнения. L(C1y1 +C2 y 2 +…+Ck yk )=C1 L(y1 )+C2 L(y2 )+…+Ck L(yk )=0, что требовалось

доказать

→Множество решений линейного однородного уравнения образует линейное

пространство. Определитель Вронского – критерий, дающий возможность определить,

является ли данная система решений линейно зависимой. Пусть y1 (x),…,yk (x)- система,

состоящая из k функций.

Определитель Вронского W(y1,y2,…yk) = (строится как матрица) первая строка (y1,y2,…yk), вторая строка(y1,y2,…yk), третья строка (y1^(k-1),y2^(K-2),…yk^(k-1))

Теорема:

Если функции y 1 ,…,y k линейно зависимы, то их определитель Вронского тождественно

равен 0. Доказательство: Пусть y 1 ,…,y k – линейно зависима→например, y 1 – линейная комбинация остальных→первый столбец представляет собой линейную комбинацию

остальных→определитель тождественно равен 0. Теорема: Если y 1 (x),…,y k (x)-линейно независимые решения уравнения, то их определитель Вронского ни при одном значении х не обращается в 0. Система функций y 1 (x),…,y k (x), состоящая из n линейно-независимых решений уравнения, называется фундаментальным набором решений.

105. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнение Бернули.

Дифференциальное уравнение вида a( x)y' +ß(x)y+γ(x)=0 (1) называется линейным

дифференциальным уравнением первого порядка ( a( x), ß(x), γ(x) – непрерывные на

некотором промежутке функции). Если a(x)≠0, то y' +p(x)y=f(x), где p(x)=𝛽(𝑥)/𝛼(𝑥), f(x)= -𝛾(𝑥)/𝛼(𝑥).

Диф.ур. y' +p(x)y=0 (2) называется линейным однородным уравнением, соответствующим

уравнению (1) . Дифференциальное уравнение вида y' +p(x)y=f(x)yⁿ(n≠0, n≠1) называется

уравнением Бернулли. Заменой z=y^1-nполучается z' +(1-n)p(x)z=(1-n)f(x).

104. Уравнения в полных дифференциалах.

Дифференциальное уравнения в симметрической форме N(x,y)dx+M(x,y)dy=0, где N(x,y),

M(x,y) – непрерывные в некоторой области D функции, называется уравнением в полных

дифференциалах, если существует такая непрерывно дифференцируемая функция U(x,y),

что dU=N(x,y)dx+M(x,y)dy→общий интеграл ур. в полных дифференциалах задается

соотношением U(x,y)=C, кроме того, N=𝜕𝑈/𝜕𝑥 , 𝑀 =𝜕𝑈/𝜕𝑦. ∂²U/∂x∂y =∂²U/∂y∂x→∂𝑀/∂𝑥 =∂𝑁/∂𝑦

103. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.

Дифференциальное уравнение первого порядка N(x,y)dx+M(x,y)dy=0, где N(x,y) M(x,y)-

однородные функции одной и той же степени, называется однородным уравнением.

Интегрирование однородного уравнения: имеем y' =u(x)+xu' (x). Подстановка

y(x)=xu(x)→ u+xu' =f(u); 𝑑𝑢/𝑓(𝑢)-𝑢=𝑑𝑥/𝑥;∫𝑑𝑢/𝑓(𝑢)-𝑢 = ln |𝑥|+C; найдем u(x), а затем y(x)=xu(x).