- •16. Определение функции, непрерывной в точке.
- •17. Определение точки разрыва функции. Классификация точек разрыва.
- •36 Неопределенный интеграл
- •37. Свойства неопределенного интеграла
- •38. Формула замены переменной в неопределенном интеграле
- •48. Определение несобственного интеграла с бесконечно верхним пределом.
- •49. Определение несобственного интеграла от неограниченной функции на ограниченной промежутке
- •50. Расстояние в Rn, свойства расстояния
- •51. Окрестность точки в Rn, внутренние и граничные точки множества
- •52. Открытые и замкнутые множества
- •53. Изолированные и предельные точки множества
- •54. Ограниченные множества
- •55. Сходимость последовательности точек в Rn, ее эквивалентность покоординатной сходимости.
- •70. Градиент. Свойства градиента.
- •76. Достаточное условие локального экстремума функций нескольких переменных.
- •77. Условный экстремум.
- •78. Метод Лагранжа.
- •79. Наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на замкнутом ограниченном множестве.
- •80. Кратные интегралы и их свойства. Условия интегрируемости функции.
- •81. Сведение кратного интеграла к повторному интегралу.
- •82. Формула замены переменных в двойном интеграле. Использование полярных координат для вычисления двойных интегралов
- •83.Геометрические приложения двойных интегралов: вычисление площадей плоских фигур и объемов пространственных тел.
- •84. Несобственные кратные интегралы. Интеграл Эйлера-Пуассона.
- •85. Числовые ряды.
- •86. Последовательность частичных сумм. Сумма ряда. Сходящиеся ряды.
- •87.Свойства сходящихся рядов.
- •88. Необходимое условие сходимости числового ряда.
- •107.Общее решение однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами (для уравнений второго порядка)
- •106. Линейные дифференциальные уравнения. Фундаментальная система решений.
- •105. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнение Бернули.
- •104. Уравнения в полных дифференциалах.
- •103. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
- •102.Уравнения с разделяющимися переменными. Автономные уравнения.
- •96. Интервал и радиус сходимости степенного ряда
- •91. Признаки сравнения, признак Даламбера и Коши, интегральный признак для числовых рядов с неотрицательными членами.
70. Градиент. Свойства градиента.
Градиентом ф-ии Z=f(x;y), в точке М (x0, y0), называется вектор координаты которого = соответствующим частным производным функции f в т. М
Grad f (M) = (f !x(M); f !y(M))
Следствие:
Своиства градиента: 1. Производная по направлению имеет МАХ значение в направлении совпадающем с градиентом.1.)Производная в направлении ⊥ градиенту равно 0. 2.)Градиент ⊥ линиям уровня
3.)Свойства градиента
71.Частные производные высших порядков.
Рассматривая 41.я частные производные и как функции от , приходим к понятиям частных производных второго порядка. А именно, выражения
,
называют частными производными второго порядка функции по и по соответственно, а выражения
,
смешанными частными производными второго порядка функции . Их обозначают также символами: , , и . Аналогично определяют частные производные 3-го порядка (их будет 8=23 ), 4-го порядка (их будет 16=24 ) и т. д.
72. Теорема о равенстве смешанных производных
Если производные f ”xy (x,y) и f ”yx (x,y) существуют в некоторой окрестности точки М(х0, у0) и непрерывны в самой точке М, то имеет место равенство
f ”xy (М)= f ”yx (M)
73. Формула Тейлора для функции нескольких переменных с остаточным членом в формуле Лагранжа.
74. Локальные экстремумы функций нескольких переменных.
Точка а→ называется точкой локального максимума/минимума функции у =f(х→), если существует такая ε —окрестность Uε(а→) = {х € Rn: \х→ — а→\ < ε) точки а, в которой для любой точки х € Uε(а), выполняется неравенство что в любой точке Xэтой
окрестности выполняется неравенство:
f(x→) >= f(a→)/ f(x→) <=f(а→)
75. Необходимое условие локального экстремума функций нескольких переменных.
1 .Для того, чтобы дифференцируемая функция f(х→) имела локальный экстремум в точке
а→, необходимо, чтобы все её частные производные первого порядка в этой точке были равны нулю.
2.Пусть функция f(х→) имеет в окрестности точки своего локального экстремума а→ непрерывные частные производные второго порядка. Тогда:
-если а→ - точка локального минимума, то d2fa→- неотрицательно определённая квадратичная форма
если а→ - точка локального максимума, то d2fa→- неположительно определённая квадратичная форма
76. Достаточное условие локального экстремума функций нескольких переменных.
Пусть в некоторой окрестности стационарной точки M0 (x1,…xn) определены частные
производные второго порядка функции f(x1, ..., xn), которые являются непрерывными в точке М0. Если в этой точке второй дифференциал d2f(M0) является знакоопределенной квадратичной формой от dx1, ..., dxm, то в точке М0 функция имеет локальный экстремум (локальный максимум, если d2f(M0) отрицательно определена, и локальный минимум, если d2f(M0) положительно определена), если же d2f(M0) знакопеременна, то в точке М0 экстремума нет.
77. Условный экстремум.
Пусть у= f(X)функция с областью определения D(f) и пусть S- подмножество в D(f) (т.е. является частью в D(f). Точка A принадлежит S называется точкой условного минимума функции f если существует такая окрестность точки А, что для любой точки В, лежащей одновременно и в этой окрестности точки А и множестве S, верно неравенство f(A) <=f(B).
Аналогично точка А принадлежит S называется точкой условного максимума функции f если существует такая окрестность точки А, что для любой точки В, лежащей в этой окрестности и в S, верно неравенство f(A) >=f(B).
Общее название для условных минимумов и максимумов — условные экстремумы.