- •16. Определение функции, непрерывной в точке.
- •17. Определение точки разрыва функции. Классификация точек разрыва.
- •36 Неопределенный интеграл
- •37. Свойства неопределенного интеграла
- •38. Формула замены переменной в неопределенном интеграле
- •48. Определение несобственного интеграла с бесконечно верхним пределом.
- •49. Определение несобственного интеграла от неограниченной функции на ограниченной промежутке
- •50. Расстояние в Rn, свойства расстояния
- •51. Окрестность точки в Rn, внутренние и граничные точки множества
- •52. Открытые и замкнутые множества
- •53. Изолированные и предельные точки множества
- •54. Ограниченные множества
- •55. Сходимость последовательности точек в Rn, ее эквивалентность покоординатной сходимости.
- •70. Градиент. Свойства градиента.
- •76. Достаточное условие локального экстремума функций нескольких переменных.
- •77. Условный экстремум.
- •78. Метод Лагранжа.
- •79. Наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на замкнутом ограниченном множестве.
- •80. Кратные интегралы и их свойства. Условия интегрируемости функции.
- •81. Сведение кратного интеграла к повторному интегралу.
- •82. Формула замены переменных в двойном интеграле. Использование полярных координат для вычисления двойных интегралов
- •83.Геометрические приложения двойных интегралов: вычисление площадей плоских фигур и объемов пространственных тел.
- •84. Несобственные кратные интегралы. Интеграл Эйлера-Пуассона.
- •85. Числовые ряды.
- •86. Последовательность частичных сумм. Сумма ряда. Сходящиеся ряды.
- •87.Свойства сходящихся рядов.
- •88. Необходимое условие сходимости числового ряда.
- •107.Общее решение однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами (для уравнений второго порядка)
- •106. Линейные дифференциальные уравнения. Фундаментальная система решений.
- •105. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнение Бернули.
- •104. Уравнения в полных дифференциалах.
- •103. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
- •102.Уравнения с разделяющимися переменными. Автономные уравнения.
- •96. Интервал и радиус сходимости степенного ряда
- •91. Признаки сравнения, признак Даламбера и Коши, интегральный признак для числовых рядов с неотрицательными членами.
88. Необходимое условие сходимости числового ряда.
Если ряд сходится, то предел его общего члена равен нулю. Эквивалентная формулировка: Если предел общего члена ряда не равен нулю или не существует, то данный ряд расходится.
Доказательство. Пусть данный ряд сходится и его сумма равна S.Для любого натурального п имеем S n= S n-1 + а п или An=Sn-Sn-1
При п >∞ обе частичные суммы Snи Sn-1 стремятся к пределу S,поэтому из равенства следует, что
Limn→∞an= Limn→∞Sn- Limn→∞Sn-1=S-S=0
Подчеркнем еще раз, что мы установили только необходимое условие сходимости ряда, т.е. условие, при нарушении которого ряд не может сходиться. С помощью этого признака можно доказывать только расходимость ряда
89. Числовые ряды с неотрицательными членами.
Числовой ряд называется рядом с положительными членами, если общий член ряда ап >0 для любого n=1,2,.... Критерием сходимости для таких рядов служит ограниченность последовательности частичных сумм ряда.
При решении задач на сходимость рядов первым шагом является проверка выполнения необходимого условия сходимости, т.е. limn→∞ ап = 0
90. Критерий сходимости числовых рядов с неотрицательными членами.
Для того чтобы ряд с положительными членами сходился, необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была ограничена.
109. Общее решение однородной системы линейных дифференциальных уравнений в случае существования базиса из собственных векторов.
Y' =AY (однородная линейная система в матричном виде). Y = Реƛt – решение, где Р = (p1,р2…рn) – нулевая матрица с постоянными элементами. Y' = ƛРе ƛt; ƛРе ƛt= Реƛt; АР = ƛР→ƛ-С3, Р-СВ
108. Частное решение неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами с правой частью специального вида.
Если в неоднородном уравнении y(n)+a1 y(n-1)+a2 y(n-2)+…+a n y=f(x) правая часть имеет
специальный вид f(x)=eax(P n (x)cosbx+Q k (x)sinbx), где P n (x)и Q k (x) – многочлены от х, его решают методом неопределенных коэффициентов. Если γ= a+bi не является корнем
характеристического уравнения, частное решение – y=eax( ₒP m (x)cosbx+ₒQ m (x)sinbx), где
ₒP m (x) и 𝑄m (x) – многочлены степени m=max{k,n} (их коэффициенты узнаем
подстановкой y в изначальное уравнение).
Если γ – корень характеристического уравнения кратности l, частное решение – y=x’eax
(ₒP m (x)cosbx+ₒQ m (x)sinbx) (резонансный случай).
107.Общее решение однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами (для уравнений второго порядка)
Уравнение второго порядка: y'' +py' +qy=0. Если y1(x) и y2(x) – частные решения этого
уравнения, то любая их комбинация y=C1y1+C2y2 (C1, C2 – произвольные постоянные)
также является решением. Cоставим характеристическое уравнение, найдем его корни,
построим фундаментальную систему решений, запишем общее решение. Решаем
характеристическое уравнение: λ2+pλ+q=0
Если D>0→решения λ 1 и λ 2 →решения уравнения y1 =eλ 1 𝑥 и y2 =e𝜆 2 𝑥 лнз→y=C1eλ 1 𝑥+С 2e𝜆 2 𝑥 Если D<0→λ 1,2 =λ±ßi→y1 =e(λ+ßi)x, y2 =e(λ-ßi)x или y1 =eax(cosßx+isinßx), y 2 =eax(cosßx-isinßx)→y=eax(C1cosßx+C2sinßx). Если D=0→λ =-𝑝/2→ y1=e-λx, y2 =xeλx→y=eλx(C 1 +C 2 x)