1. Определение числовой функции. Способы задания функций.

Пусть D – множество на числовой прямой R. Если каждому x∈D поставлено в соответствие единственное число y=f(x), то говорят, что задана функция f. Множество D называют областью определения, а множество E={y∈R | y=f(x), x∈D} – множеством значений. Фукции задаются в аналитическом, графическом и табличном видах.

2. Понятие обратной функции.

Если функция y=f(x) такова, что разным значениям аргумента соответствуют разные значения функции, то определена обратная функция x=f^-1(y).

3. Понятие сложной функции.

Сложная функция, функция от функции. Если величина y является функцией от u, то есть у = f (u), а u, в свою очередь, функцией от х, то есть u = j(х), то у является сложной функцией от х, то есть y = f [(x)]=f[j(x)], определённой для тех значений х, для которых значения j(х) входят в множество определения функции f (u).

4. Определение предела последовательности.

Пределом последовательности {x_n} называют такое число a, что {x_n-a} – бесконечно малая последовательность. Символическая запись lim_(n→∞) =a. Последовательность, имеющую (конечный) предел a, называют сходящейся (к пределу a).

5. Правила вычисления пределов сходящихся последовательностей.

Положим lim_(n→∞)x_n=a; lim_(n→∞)y_n=b. Тогда

lim_(n→∞)(x_n+y_n)=a+b.

lim_(n→∞)(x_n*y_n)=a*b.

lim_(n→∞)(x_n/y_n)= a/b, b≠0.

Раскрытие неопределенностей – это правило позволяет формально применяя выше перечисленные свойства пределов получить выражение одного из видов:

∞-∞, 0*∞, 1^∞, 0⁰, ∞⁰, ∞/∞, 0/0.

6. Определение ограниченной последовательности.

Дана последовательность {x_n}. В случае когда существует положительное число A, что |x_n|≤A для всех n, последовательность {x_n} называют ограниченной.

7. Определение бесконечно малой последовательности.

Последовательность называется бесконечно малой (б.м.), если для любого (сколь угодно малого) ɛ>0 найдется такой номер n₀, что для всякого номера n>n₀ выполняется неравенство |x_n|< ɛ.

8. Определение бесконечно большой последовательности.

Последовательность называется бесконечно большой (б.б.), если для любого (сколь угодно большого) числа A>0 найдется такой номер n₀, что для всякого номера n>n₀ выполняется неравенство |x_n|>A. Такую последовательность называют еще неограниченной.

9. Определение монотонных последовательностей.

Последовательность {x_n} называют:

возрастающей, если x_n<x_n+1 для всех n;

неубывающей, если x_n≤x_n+1 для всех n;

убывающей, если x_n>x_n+1 для всех n;

невозрастающей, если x_n≥x_n+1 для всех n.

Все такие последовательности называют монотонными.

10. Определение предела функции в точке.

Пределом функции y=f(x) в точке x₀ (или при x→x₀) называют число a, если для любой последовательности {x_n} значений аргумента, сходящейся к x₀ (при этом все x_n≠x₀), последовательность {f(x_n)} значений функции сходится к пределу a. Это записывают в виде: lim_x→x0 f(x)=a.

11. Определение бесконечно малой функции.

Функция f(x) называется бесконечно малой при x→x₀, если limx→x₀f(x)=0.

12. Определение бесконечно большой функции.

Функция называет бесконечно большой при x→x₀, если limx→x₀f(x)=±∞.

13. Первый замечательный предел.

limx→0 (sinx/x)=1

14. Второй замечательный предел.

limx→+∞((1+(1/x)^x)=e, limx→-∞f(x)=0.

15. Определения односторонних пределов функции в точке.

Пусть функция y=f(x) определена на множестве X и пусть x₀ – предельная точка для X. Число a называется пределом функции f(x) в точке x₀ (или при x→x₀), если для любой последовательности x₁, x₂,… точек из X, отличных от x₀ и сходящихся к x₀, соответствующая последовательность значений функции f(x₁), f(x₂),… сходится к числу a.

Если функция f(x) определена справа от x₀, точнее, в интервале вида (x₀, x₀+h), где h>0, то предел f(x) при x→x₀ называют правосторонним пределом f(x) в точке x₀ и обозначают limx→x0, x>x0f(x), а также limx→x0+0f(x) или даже еще короче f(x₀+0). Аналогично определяется и левосторонний предел.

16. Определение функции, непрерывной в точке.

Функция f(x), определнная в некоторой окрестности точки x₀, называется непрерывной в этой точке, если предел функции в точке x₀ существует и равен значению в этой точке:=f(x₀)

17. Определение точки разрыва функции. Классификация точек разрыва.

Если функция f (x) не является непрерывной в точке x = a, то говорят, что f (x) имеет разрыв в этой точке. Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода. Говорят, что функция f(x) имеет точку разрыва первого рода при x = a, если в этой точке: существуют левосторонний предел limx→a-0f(x) и правосторонний предел limx→a+0f(x) и эти односторонние пределы конечны.

При этом возможны два следующих случая:

1. Когда левосторонний и правосторонний пределы равны друг другу, такая точка называется точкой устранимого разрыва;

2. Когда левосторонний и правосторонний пределы неравны друг другу, такая точка называется точкой конечного разрыва.

Функция y=f(x) имеет точку разрыва второго рода, если по крайней мере один из односторонних пределов не существует либо существует и равен бесконечности.

18. Определение производной функции в точке.

Производной от функции y=f(x) в точке x₀ называется предел отношения ∆y/∆x, когда ∆x→0 (при условии что предел отношения ∆y/∆x существует.)

19. Определение дифференцируемой функции в точке x₀ .

f`(x₀)=lim_∆x→0(∆y/∆x)= lim_∆x→0((f(x₀+∆x)-f(x₀))/∆x)

20. Определение дифференциала функции f(x) в точке x₀.

Дифференциалом функции f(x) в точке x₀ называется линейная функция приращения ∆x вида f`(x₀)∆x.

21. Теорема о производной сложной функции.

Если функция y=f(x) дифференцируема в точке x₀, а функция x=g(t) дифференцируема в точке t₀ и g(t₀)=x₀, то сложная функция y=f(g(t)) также дифференцируема в t₀ и выполняется следующее равенство:

(d/dt)f(g(t))|t=t₀ = f`(x<sub>0</sub>)*g`(t₀) или y_t`=(y<sub>x</sub>`)*(x_t`)

22. Теорема о производной обратной функции

Пусть функция y = f(x)монотонна и непрерывна в некоторой окрестности точки x. Пусть, кроме того, эта функция дифференцируема в точке x₀ и f'(x) ≠ 0. Тогда в некоторой окрестности соответствующей точки y₀ = f(x₀) определена обратная функция x = f^-1(y), причем обратная функция дифференцируема в точке x₀ = f^-1(y₀) и для ее производной справедлива формула

(f^-1(y₀))' = 1/f'(x₀)

23. Геометрический смысл производной и дифференциала

Производная f'(x₀) есть угловой коэффициент касательной, проведенной к кривой y = f(x) в точке x₀, который в свою очередь равен tg угла наклона касательной к графику функции.

Дифференциал функции есть приращение ординаты касательной, проведенной к графику функции y = f(x) в данной точке, когда x получает приращение Δ x.

24. Уравнение касательной

Касательная задаётся уравнением y = kx + f(x₀) – kx₀ = f(x₀) + k(x-x₀)

Т.к. угловой коэффициент касательной k = f’(x₀), уравнение касательной имеет вид:

y = f(x₀) + f’(x₀)(x-x₀)

25. Определение эластичности функции

Эластичностью функции y=f(x) в точке x₀ называется следующий предел:

E_yx(x₀) = lim_Δx→0 (Δy/y : Δx/x)

Говорят, что E_yx(x₀) – коэффициент эластичности y по x.

26. Правило Лопиталя.

Пусть A – число, символ одностороннего предела (A=a±0) или символ бесконечности (A=±∞). Пусть функции f(x) и g(x) либо обе бесконечно малые, либо обе бесконечно большие при x→A. Тогда если существует предел lim_x→A(f`(x)/g`(x)) (конечный или бесконечный), то существует и предел lim_x→A(f(x)/g(x)), при этом выполняется равенство:

lim_x→A(f`(x)/g`(x))= lim_x→A(f(x)/g(x)).

27. Производные и дифференциалы высших порядков.

N-ой производной от функции f(x) называется производная от ее (n-1)-й производной: f⁽ⁿ⁾(x)=(f^(n-1)(x))`. Говорят так же, что f⁽ⁿ⁾(x) – это производная порядка n от функции f(x).

Дифференциалом n-ого порядка функции f(x) называется дифференциал от дифференциала (n - 1)-го порядка этой же функции. Таким образом, dⁿf(x) = d(d^n-1f(x)), d⁰f(x) = f(x), n ϵ N.

28. Формула Тейлора. Формула Маклорена.

Пусть функция f(x) имеет (n+1) производных в ɛ-окрестности точки x₀. Тогда для любой точки x из этой окрестности найдется точка c, расположенная между точками x и x₀, для которой выполняется следующая формула f(x)=T(x)+(f⁽ⁿ⁺¹⁾(c))/((n+1)!)*((x-x₀)ⁿ⁺¹).

Формула Маклорена: f(x)=f(0)+(f`(0)/1!)*x¹+(f``(0)/2!)*x²+…+(fⁿ(0)/n!)*xⁿ+(f⁽ⁿ⁺¹⁾(c)/(n+1)!)*xⁿ⁺¹.

29. Признак монотонности дифференцируемой функции

Пусть функция f C ((a,b)) непрерывна на (a,b) и имеет в каждой точке x (a,b) производную f(x). Тогда

f возрастает на (a,b) тогда и только тогда, когда x (a,b) f ' (x) ≥ 0

f убывает на (a,b) тогда и только тогда, когда x (a,b) f ' (x) ≤ 0

30. Определение локального экстремума функции одной переменной.

Точка х₀ называется точкой локального максимума (минимума) функции f(x), если для всех х из некоторой окрестности точки х₀ выполняется неравенство f(x) ≤ f(x₀) (для минимума f(x) ≥ f(x₀) ) Локальный максимум и локальный минимум объединяются общим названием локальный экстремум.

31. Необходимое условие локального экстремума функции одной переменной.

Для того чтобы дифференцируемая функция f(x) имела в точке х₀ локальный экстремум, необходимо, чтобы в этой точке выполнялось равенство f’(x₀)=0.

32. Точка перегиба функции.

Точки, отделяющие промежутки, на которых функция f(x) выпукла, от промежутков, на которых f(x) вогнута, называются точками перегиба функции, если в них существует производная f’(x). В точках перегиба функция (график) меняет направление выпуклости.

33. Необходимое условие точки перегиба.

Для того чтобы точка х₀ была точкой перегиба функции f(x), необходимо, чтобы выполнялось равенство f ’’(x₀) = 0.

34. Определение асимптот графика функции.

Прямая называется асимптотой графика функции y = f(x), если расстояние от переменной точки M графика до этой прямой при удалении точки M в бесконечность стремится к нулю, т.е. точка графика функции при своем стремлении в бесконечность должна неограниченно приближаться к асимптоте.

35. Определение первообразн6ой для функции f(x) на промежутке x

Определение:

Функцияy=F(x) называетсяпервообразнойфункцииy=f(x) напромежуткеX, еслидля

любогохизХвыполняетсяравенство:

F’(x)=f(x).

Если F(x) первообразная ф-и f(x) на множестве D, то любую другую первообразную этой

функции можно получить по формуле: Ф(х)=F(x)+c при некотором значение с.

Доказательство:

Пусть F(x) – первообразная f(x), x принадлежит Х: F’(x)=f(x).

Пусть Ф(х) – другая первообразная f(x), x принадлежит Х: Ф’(x)=f(x).

Составим функцию f(х)=Ф(х)-F(х) – дифференцируема на промежутке Х → f'(х)= Ф’(х)-

F’(х)=f(x)-f(x)=0. По свойствам функции, дифференцируемой на Х → f(х)=соnst=c →

Ф(х)-F(х)=с=const → Ф(х)=F(х)+с, что и требовалось доказать.