48. Определение несобственного интеграла с бесконечно верхним пределом.

Пусть функция y=f(x) интегрируема на каждом конечном отрезке [a;b] (b>a). Тогда за несобственный интеграл от а до + бесконечности f(x)dx принимают предел функции: I (b) = интеграл от а до б f(x)dx, когда b стремится к бесконечности: Интеграл от а до бесконечности f(x)dx = lim где б→+∞ = интеграл от а до б f(x)dx. Если lim где б→+∞ = интеграл от а до б f(x)dx сущ-т и конечен, то несобственный интеграл Сходится, если наоборот Расходится.

49. Определение несобственного интеграла от неограниченной функции на ограниченной промежутке

50. Расстояние в Rn, свойства расстояния

В пространстве Rn, где n>3 , о расстоянии можно говорить лишь в условном смысле, так как точки в Rn не имеют непосредственного геометрического истолкования. Расстояние определяется формулой: р (p,q)= | p-q |= корень((x’1-x”₁)^2+…+(x’_n-x’’_n)^2)), где р=(x₁’, x’’₂,..x_n”) – 2 точки из Rⁿ

Свойства:

1) ρ(p,q)>0, еслиp ≠q, иρ(p,p)=0;

2) ρ(p,q)= ρ(q,p);

3) ρ(p,q)+ ρ(q,r)>= ρ(p,r), каковы бы нибыли точки p,q и r. (свойство треугольника).

51. Окрестность точки в Rn, внутренние и граничные точки множества

Пусть р0- точка в Rn и ε - положительное число. Открытым шаром, или просто шаром радиуса ε с центром в р0 называется множество всех точек, расстояние которых от р0 меньше ε:

{р € Rⁿ │ р ⁽р₀^,р⁾<ε}. Шар радиуса ε с центром р₀ обозначается В(р₀, ε) или u3(р₀). Множество u3(р₀) называют - ε окрестностью точки р₀.

Внутренние и граничные точки множества. Пусть Х – множество в пространстве Rn. Точка р называется: -Внутренней точкой множества Х, если она содержится вместе с некоторой своей

e–окрестностью; -Внешней точкой по отношению к Х, если она является внутренней для дополнения Х в Rn; -Граничной точкой для Х, если она не является ни внутренней ни внешней точкой для Х, иначе говоря, если любая ее окрестность содержит как точки, принадлежащие Х, так и точки, не принадлежащие Х.

52. Открытые и замкнутые множества

Множество X называется открытым, если все его точки внутренние.

Множество X называется закрытым, если оно содержит все свои граничные точки.

53. Изолированные и предельные точки множества

Пусть X - множество в Rⁿ. Точка p0 называется предельной для X, если в любой

e-окрестности точки p 0 имеются точки множества X, отличные от p₀ .

При этом сама точка p 0 может как принадлежать, так и не принадлежать множеству X.

Точка p 0 ∈X называется изолированной точкой множества X, если у нее существует

e-окрестность, в которой никаких других точек из X, кроме p 0 , нет.

Ясно, что любая точка множества Х является либо изолированной, либо предельной

для Х.

54. Ограниченные множества

Множество X⊂Rⁿ называется ограниченным, если оно целиком содержится в некотором

шаре. Нетрудно показать, что ограниченность множества X означает, что существует такое число С>0, что координаты любой точки р-(x1,x2,….xn) по модулю не превосходят С:│x₁│≤ c, │x₁│≤c,…. │x_n│≤ c.

55. Сходимость последовательности точек в Rn, ее эквивалентность покоординатной сходимости.

Пусть {р_п} - последовательность точек в Rⁿ. Мы говорим, что эта последовательность сходится к точке p0, если числовая последовательность {ρ(р_п, р₀)} имеет предел 0.

Пусть p₁=(x₁,y₁), p₂=(x₂,y₂) ,...- последовательность точек в R². Мы скажем, что эта последовательность сходится к точке p₀=(x₀,y₀), если числовая последовательность x₁,x₂,. сходится к числу x₀, а числовая последовательность y₁,y₂,. - к числу y₀.

56. Функция нескольких переменных.

Числовая функция nпеременных - функция, характеризующаяся тем, что областью ее определения является подмнжество X пространства Rⁿ, n>1 Y=f(x₁, x₂,..., х_n), где (x₁,x₂,..., х_п)€X

57. Поверхности (линии) уровня функции нескольких переменных.

Линией уровня функции называют линию f(x,y)=C на координатной плоскости, в точках которой функция fпринимает постоянное значение C.

При n>2 следует говорить не о линиях, а о множествах уровня. Множество уровня имеет уравнение f(x₁,x₂, ..., х_п) = С и истолковывается как “ поверхность” в R_n.

58. Предел функции нескольких переменных.

Пусть на множестве X € Rⁿ задана функция f(p) и пусть р₀ - предельная точка для Х. Число а называется пределом функции fв точке p₀, если для любой сходящейся к р₀ последовательности {р_п}, где все p_n≠p₀, соответствующая числовая последовательность {f(рп)} сходится к числу а.

Запись: lim_p→_p0 f(p) = а, или в координатной форме lim_х1→_x1⁰ …,_хп→_хnо f(x₁,..., х_п) = а.

59. Непрерывность функции нескольких переменных.

Функция f(p), определенная на множестве X €Rⁿ, называется непрерывной в точке р₀ € X, если lim_p→p0 f(р) = f(р₀), или же, если р₀ - изолированная точка множества Х.

Функция f(p), определенная на множестве X€Rⁿ, называется непрерывной на этом множестве, если она непрерывна в каждой точке множества Х.

60. Свойства функций, непрерывных на замкнутом ограниченном множестве: ограниченность, достижение наибольшего и наименьшего значений.

Если числовая функция f от n переменных задана на ограниченном и замкнутом множестве Х€Rⁿ, то она ограничена на этом множестве.

Если числовая функция f от n переменных задана на ограниченном и замкнутом множестве Х€Rⁿ, то существует точка р₀ е X, в которой f принимает свое наименьшее значение, и точка q₀€X, в которой f принимает свое наибольшее значение на Х.

61. Частные производные функции нескольких переменных.

Частной производной функции нескольких переменных по одной из этих переменных называется предел отношения частного приращения функции к приращению соответствующей независимой переменной, когда это приращение стремится к нулю.

Частные производные функции z=f(x,y) в точке (x₀,y₀) обозначаются так:

Z_x’ , dz/dx, f_x'(xo,yo)- производная по x;

Z_y’, dz/dy, f_y'(x₀,y₀) - производная по y.

62. Дифференцируемость функции нескольких переменных.

Функция z= f(x,у) называется дифференцируемой в точке (хо,уо), если её полное приращение можно представить в виде:

∆z= f (x; y)– f (xо; уо) =f’_x(x₀;y₀)∆х + f’(x₀;y₀)∆у + εр, где ε = ε(∆x; ∆y)- функция бесконечно малая при ∆х → 0; ∆y→ 0

р = sqrt (∆х)²+ (∆у)² - расстояние от точки (х,у) до точки (х₀,у₀)

63. Дифференциал функции нескольких переменных.

Определение:

Это сумма произведений частных производных функции на приращения независимых переменных, которая играет роль линейного приближения. Так, в случае функции от двух переменных, полный дифференциал определяется равенством:

dz= z'_x∆x+z’_y∆y В различных точках(х₀;у₀) дифференциал также будет различным.

63.Достаточное условие дифференцируемости функции нескольких переменных.

Если частные производные f’_x(х; у) и f_y'(x;у) определены в окрестности точки (хо;уо) и непрерывны в самой точке (х₀;у₀), то функция z= f(x; у) дифференцируема в этой точке.

65. Непрерывность дифференцируемой точки.

Если функция z= f(x;у) дифференцируема в точке (х₀;у₀), то она непрерывна в этой точке.

Доказательство:

Lim_{(∆x→0; ∆y→0)}∆z= Lim_{(∆x→0; ∆y→0)}(dz+εp)=z’_x* Lim_{(∆x→0; ∆y→0)}∆x+z’_y* Lim_{(∆x→0; ∆y→0)}∆y+ Lim_{(∆x→0; ∆y→0)}ε * Lim_{(∆x→0; ∆y→0)}p=z’_x*0+0*0=0

66. Однородные функции.

Функция f(x₁,..., x_n)с такой областью определения Dназывается однородной степени а, если для любого t>0выполняется равенство f (tx₁,..., tx_n)= t^af (tx₁,..., tx_n).

Однородный многочлен степени n является однородной функцией той же степени однородности.

67.Формула Эйлера.

Пусть дифференцируемая функция f(x;y)является одновременно и однородной функцией степени а.

Фиксируя произвольную точку (x;y),для любого t>0получаем:

f( tx;ty)= t^af(x; у)

При дифференцировании левой и правой частей получаем:

f’_x(tx;ty)x + f’_y(tx;ty)y = at^a-1f(x;y)

68.Производная сложной функции.

Пустьf(x;y)- функция от двух переменных x;y, а φ(t) и µ(t) - функции от независимой переменной t. В этом случае говорят, что F(t) = f (φ(t), µ(t)) - сложная функция от t

69. Производная по направлению.

Рассмотрим функцию от аргументов в окрестности точки . Для любого единичного вектора определим производную функции в точке по направлению следующим образом:

Значение этого выражения показывает, как быстро меняется значение функции при сдвиге аргумента в направлении вектора .

Данная формула показывает, что производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную от внутренней функции. Важно, однако, что производная внутренней функции вычисляется в точке x, а производная внешней функции - в точке u = g(x)!