58. Предел ф-ции нескольких переменных. Пусть на множестве Х-Rⁿ задана ф-цияf(p) и пусть p₀- предельная точка для Х. Число а называется пределом ф-цииf в точке p₀, если для любой сходящейся к p₀ последовательности {p_n}, где все p_n≠p₀, соответствующая числовая послед-ть {f(p_n)} сходится к числу а. Запись: limf(p)=a при pк p₀

59. Непрерывность ф-ции нескольких переменных. Ф-цияf(p), определенная на множестве ХϵRⁿ, называется непрерывной на этом множестве, если она непрерывна в каждой точке множества Х. Ф-цияf(p), определенная на множестве ХϵRⁿназывается непрерывной в точке p₀ϵХ, еслиlimf(p)=f(p₀) pкp₀

60. Свойства функций, непрерывных на замкнутом ограниченном множестве: ограниченность, достижение наибольшего и наименьшего значений.

Если числовая функция f от n переменных задана на ограниченном и замкнутом множестве X Rⁿ, то она ограничена на этом множестве

Если числовая функция f от n переменных задана на ограниченном и замкнутом множестве X Rⁿ, то существует точка p₀ X, в которой f принимает свое наименьшее значение, и точка q₀ X, в которой f принимает свое наибольшее значение на Х

61. Частные производные функции нескольких переменных.

Частной производной функции нескольник переменных по одной из этих перемнных называется предел отношения частного приращения функции к приращению соответсвующей независимой перемнной. Когда это приращение стремится к нулю

62. Дифференцируемость функции нескольких переменныхФ-цияz=f(x,y) называетсядифференцируемойвточке (x₀,y₀), еслиееполноеприращениеможнопредставитьввиде: ∆z=f(x,y)-f(x₀,y₀)=f’_x(x₀,y₀)∆x+ f’_y(x₀,y₀)∆y+eρ, либо ∆z=dz+ eρ, гдее=е(∆x,∆y)- ф-циябесконечномалаяпри ∆x→0,∆y→0; ρ=√((∆x)²+∆y²)-расстояниеотточки (x,y) доточки(x₀,y₀)

63. Дифференциал функции нескольких переменных.Полный дифференциал ф. выполняет роль линейного приближения и определяется как сумма произведений частных производных ф-ции на приращения независимых переменных: dz=z’x∆x+z’y∆y

64. Достаточное условие дифференцируемости функции нескольких переменных.Если частные производные f’x(x,y) и f’y(x,y) определены в окрестности точки (x₀,y₀), то ф-цияz=f(x,y) дифференцируема в этой точке

65. Непрерывность дифференцируемой функции.Если ф-цияz=f(x,y)дифференцируема в точке (x₀,y₀), то она непрерывна в этой точке.

66. Однородные функции. Ф-ция z(x;y) называется однородной степени α, если для любой точки (х;у) из области определения и переменной t выполняется равенство z(tx;ty)= t^α z(x;y). Пусть D из Rⁿ – область в Rⁿ, содержащая с каждой своей точкой (x1, x2, …., xn) и все точки вида (tx1, tx2, …., txn) при t>0 ф-ция f(x1, x2, …., xn) с такой областью определения D называется однородной степени λ, если для любого t>0 выполнятся равенство f (tx1, tx2, …., txn)=tλ f(x1, x2, …., xn).

67. Формула Эйлера для однородной функции. f’x(tx, ty)x+f’y(tx, ty)y=λt^λ-1f(x,y)

Положив здесь t=1,получим формулу Эйлера: f’x(x,y)x+f’y(x,y)y=λf(x,y)

68. Производная сложной функции.

Если функция f имеет производную в точке  , а функция g имеет производную в точке  , то сложная функция h(x) = g(f(x)) также имеет производную в точке  , причем

69. Производная по направлению. Производной ф-цииf(x,y) в точке (x₀,y₀)по направлению е(стрелка сверху)называется предел: (δf(x₀,y₀))/δе↑=lim ((f(x₀ +te_x, y₀+te_y)-f(x₀,y₀))/t) где t→0+0

70. Градиент. Свойства градиента Градиентом ф-ции z= f(x,y) в точке M(x,y) называется вектор, координаты которого равны соответствующим частным производным , взятым в точке M(x,y). Grad f(M)=(f’x(M),f’y(M)). Градиент указывает направление наискорейшего роста ф-ции, а максимальная скорость роста равна модулю градиента.│Gradf(M)│=δf(M)/δe Положимѱ(t)=f(p+tv), p,vϵRⁿ, тогдаѱ’(0)=(gradf(p),v)

Градиент ф-цииgradf(M) является вектором нормали касательной к линии уровня в точке М. Градиент ф-цииf(x,y,z) является вектором нормали касательной плоскости к поверхности уровня ф-ции в точке М