49.Комбинаторика.Перестановки,перестановки с повторением.

Комбинато́рика (Комбинаторный анализ) — раздел математики, изучающий задачи на составление различных комбинаций из заданного множества элементов. Существуют разделы комбинаторики: размещения, размещения с повторением, перестановки, перестановки с повторением, сочетания, сочетания с повторением.

Перестановки - перестановками из n различных элементов называются размещения из этих n элементов по n. Вычисляются по формулам:

Перестановки без повторений: P_n=n!

Перестановки с повторениями: .

Правило сложения - Если выбор каждого из объектов а_i (i = 1, 2,:, k) можно

выполнить n_i способами, то выбор <или a_i, или a₂,:, или a_k> можно произвести  способами.

Правило умножения - Если выбор каждого из k объектов a_i (i = 1, 2, ..., k) можно осуществить n_i  способами, то выбор <и a₁, и a₂,:, и a_k> можно произвести  способами.

50.Комбинаторика.Сочетание,сочетание с повторением.

Комбинато́рика (Комбинаторный анализ) — раздел математики, изучающий задачи на составление различных комбинаций из заданного множества элементов. Существуют разделы комбинаторики: размещения, размещения с повторением, перестановки, перестановки с повторением, сочетания, сочетания с повторением.

Сочетанием из n по k называется набор k элементов, выбранных из данных n элементов. Наборы, отличающиеся только порядком следования элементов (но не составом), считаются одинаковыми, этим сочетания отличаются от размещений.

Так, например, наборы (3-элементные сочетания, подмножества, ) {2, 1, 3} и {3, 2, 1} 6-элементного множества {1, 2, 3, 4, 5, 6} ( ) являются одинаковыми (однако, как размещения были бы разными) и состоят из одних и тех же элементов {1,2,3}.

Сочетание с повторением. Сочетанием с повторениями называются наборы, в которых каждый элемент может участвовать несколько раз.

Число сочетаний с повторениями из по равно биномиальному коэффициенту

При фиксированном производящей функцией чисел сочетаний с повторениями из по является:

Двумерной производящей функцией чисел сочетаний с повторениями является:

51.Понятие вероятности. Классификация событий. Примеры.

Первоначальным понятием теории вероятностей является понятие "событие". Оно считается основным, не подлежащим определению. События обозначаются заглавными латинскими буквами.

Определения вероятностей события существуют различные подходы:

-вероятность м. рассматриваться в статистическом смысле (как относительная частота появления события при каком-то кол-ве испытаний). Пример. Простейший опыт — подбрасывают монету. Выпадение герба или цифры, конечно, чисто случайное явление. Но при много­кратном подбрасывании обычной монеты можно заметить, что появление герба происходит примерно в половине случаев.

-геометрическая вероятность. Здесь число всевозможных исходов бесконечно.

Пример: вероятность попадания точки в некоторую область, например, на острове (как отношение площадей).

-классический подход к определению вероятности. Вероятностью случайного события А называется отношение числа равновозможных событий, благоприятст­вующих этому событию, к числу всех равновозможных событий. Обозначается вероятность события А: р(А).

Классификация событий

Достоверное - событие, которое при соблюдении некоторых условий произойдет обязательно. Например, после ночи обязательно будет утро.

Невозможное - событие, которое при соблюдении некоторых условий не может произойти. Например, после зимы сразу не наступит лето.

Неопределенное - событие, результат которого заранее не может быть предсказан.

Совместимые - события А, и В называются совместимыми при данном испытании, если исход одного не исключает возможности появления другого. Например, появление облачности не исключает появления дождя.

Несовместимые - события А и В называются несовместимыми, если появление одного из них исключает возможность появления другого. Например, из коробки, содержащей два яблока разного сорта, вытаски­вается одно яблоко. Вероятность того, что оно окажется первого и второ­го сорта, - событие несовместимое.

Зависимые - события А и В зависимы, если исход события А зависит от исхода события В. Случайные события являются зависимыми друг от друга, если вероятность появления одного из них зависит от появления или непоявления другого события. Например, вероятность появления дождя зависит от вероятности появления тучи.

Независимые - события А и В независимы, если исход одного из них никак не влияет на возможность появления другого. Случайные события являются независимыми друг от друга, если вероятность появления од­ного из них не зависит от появления или непоявления другого события. Например, в урне п белых и т черных шаров. Из урны вынимают подряд два шара. Какова вероятность того, что оба шара белые, если первый извлеченный шар вновь возвращается в урну? События, что оба извле­ченных шара белые, независимы.

Итак. Любому случайному событию А соответствует определенное число P(А), удовлетворяющее условию 0≤P(А) ≤ 1. Это число называется вероятностью события А.

-Если событие А достоверно, то P(А) = 1.

-Если событие А невозможное, то P(А) = 0

52. Операции над вероятностями. Условная вероятность и её вычисление Суммой n случайных событий называют случайное событие, обозначаемое А₁+А₂+А₃+...+Аn, имеющее место, если произойдет хотя бы одно из этих событий.

Например, А=«1-й снег выпал в сент.», В=«1-й снег выпал в окт.», С=«1-й снег выпал в нояб.». Тогда событие (А+В+С)=«1-й снег выпал осенью».

Произведением n случайных событий называют случай­ное событие, обозначаемое А₁·А₂·А₃·...·Аn, имеющее место, если про­изойдут все эти события.

Например, А=«в аудит. вошел студ.», В=«вошел студ.в очках», тогда АВ=«в ауд. вошел студ.в очках».

Событием, противоположным А, назовем событие, состоящее в том, что А не произошло ( ). Сумма вероятностей противоположных событий рав­на единице: р(А) +р( ) = 1 или р( )=1-р(А).

Случайное событие определено как событие, которое при осуществлении совокупности условий эксперимента может произойти или не произойти. Если при вычислении вероятности события никаких других ограничений, кроме условий эксперимента, не налагается, то такую вероятность называют безусловной; если же налагаются и другие дополнительные условия, то вероятность события называют условной. Например, часто вычисляют вероятность события В при дополнительном условии, что произошло событие А. Pа(В)=(В/А)

Условной вероятностью (два обозначения) называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило.