39.Формула Тейлора и формула Маклорена для многочлена.

Дан многочлен n-ной степени p(x)

p(x)=a0+a1*x+a2*x²+a3*x³+…+an*x^n

p'(x)=a1+2a2*x+3a3*x²+…+an*x^n-1

p''(x)=2a2+6a3*x+…+n*(n-1)*x^n-2*an

p^n'(x)=an*n!

Если возьмем x=0,то получим:

x=0

p(0)=a0

p'(0)=a1

p''(0)=2a2 ….

P^n'(0)=an*n!, тогда исходный многочлен можно переписать в виде:

p(x)=p0+p'(0)*x+(p''(0)/2)*x²+…+(p^n'(0)/n!)*x^n – это формула Маклорена ,разложение в окрестности 0.

Можно разложить в окрестности любой точки (x0):

p(x)=p(x0)+p'(x0)/1!*(x-x0)+p''(x0)/2!*(x-x0)²+p'''(x0)/3!*(x-x0)³ … + p^n'(x0)/n!*(x-x0)^n – это Формула Тейлора,основная формула.

40.Разложение произвольной функции по формуле Тейлора.

y=f(x)

f(x)=f(x0)+f'(x0)/1!*(x-x0)+f''(x0)/2!*(x-x0)² +…+ f^n'(x0)/n!*(x-x0)^n + r n+1 (x) , где r n+1 (x) – это остаточный член

41.Разложение элементарных функций по формуле Тейлора.

1.

2.

3.

42.Свойства неопределенных интегралов.

1. d( f(x)dx)=f(x)dx

2. F'(x)dx=F(x)+C

3. (f(x)±g(x))dx = f(x)dx± g(x)dx

4. k*f(x)dx = k* f(x)dx

5. (kx+b)dx = 1/k*F(kx+b)+C

1.Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е.

(∫f(x)dx)’ = f(x)

2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е.

d(∫f(x)dx) = f(x)dx

3. Неопределенный интеграл о дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью

до постоянного слагаемого, т.е.

∫dF(x) = F(x) + C , где С - произвольное число.

4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е.

∫αf(x)dx = α∫f(x)dx, где α – некоторое число.

5. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций,

т.е. ∫(f(x) ± g(x))dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx

43. Интегрирование рациональных выражений. Простые дроби, правильные дроби и их интегрирование.

1. Если степень знаменателя = 1, то интеграл имеет вид

∫dx ÷ (kx + b)

Находим по формуле

∫dx ÷ (kx + b) = 1÷k*ln|kx + b| + C, k≠0

Или методом замены переменной

t= kx + b

2. Если степень знаменателя > 1, то искомым является интеграл вида

∫ ((ex + f)÷ (ax^2 + bx + c)) dx , где a, b, c, e, f –действительные числа, а ≠ 0.

Сводим данное выражение к виду

∫((ex + f)÷ (ax^2 + c)) dx путем выделения полного квадрата в знаменателе подынтегральной функции, а затем использовать линейную замену переменной.

Теперь для нахождения полученного интеграла достаточно найти интегралы ∫dx ÷ (ax^2 + c) и ∫xdx ÷ (ax^2 + c).

Интеграл ∫dx ÷ (ax^2 + c) сводится (вынесением множителя) либо к табличному интегралу ∫dx÷(a^2 + x^2) = (1÷a)arctg(x÷a) + C , если ас>0,

Или к интегралу ∫dx÷(x^2 –a^2) = (1÷2a)ln|(x-a)÷(x+a)| + C, если ас<0

44. Основная формула интегрального исчисления. Формула замены переменной в определенном интеграле.

1. Основная формула интегрального исчисления (формула Ньютона-Лейбница):

_a∫^b f(x)dx = F(b) – F(a)

Теорема: Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и F(x) – любая первообразная для f(x) на [a,b]. Тогда определенный интеграл от функции f(x) на [a,b] равен приращению первообразной F(x) на этом отрезке.

2. Формула замены переменной в определенном интеграле:

_a∫^b f(x)dx = _α∫^β f(ϕ(t))ϕ’(t)dt

Теорема: Пусть функция ϕ(t) имеет непрерывную производную на отрезке [α,β], a= ϕ(α), b= ϕ(β) и функция f(x) непрерывна в каждой точке х вида x= ϕ(t), где t ϵ [α,β].