23.Определение производной. Геометрический смысл производной

а)Производной функции у = f(х) называется предел отношения приращение функции к приращению независимой переменной при стремлении последнего к нулю(если этот предел существует)

б) Производная есть тангенс угла наклона касательной.

24. Теорема о дифференцируемости и непрерывности функции.

Теорема. Если функция    дифференцируема в некоторой точке  a, то она непрерывна в этой точке.  Доказательство. По определению производной

Это предельное равенство означает, что выражение под знаком предела можно представить в виде

где  α(x)  – бесконечно малая функция при  x → a. Тогда

Следовательно,     при  x → a.  Заметим, что дифференцируемость функции в некоторой точке означает ее гладкость в окрестности этой точки, что влечет за собой непрерывность функции в рассматриваемой точке. Однако обратное утверждение несправедливо – функция, обладающая свойством непрерывности в некоторой точке, не обязательно дифференцируема в этой точке.

25. Основные формулы и правила дифференцирования.

Правила нахождения дифференциалов

1.d(u+v)=du+dv

2.d(u*v)=d*x(u*v)=(u'v+uv')dx=u'vdx+uv'dx=du*v+ u*dv

3. d(u\v)=du*v-u*dv\v^2

Формулы дифференцирования схожи с формулами нахождения производных.

26. Производная сложной функции.

Сложная функция – это функция, аргументом которой также является функция.

Производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную от внутренней функции. Условно можно обозначать как f(g(x)). То есть, g(x) как бы аргумент функции f(g(x)).

27. Производная степенно-показательной функции.

Степенно-показательная функция – это функция, у которой и степень и основание зависят от «икс». Необходимо использовать только что рассмотренный приём – логарифмическую производную. Навешиваем логарифмы на обе части:

Как правило, в правой части из-под логарифма выносится степень:

В результате в правой части у нас получилось произведение двух функций, которое будет дифференцироваться по стандартной формуле. Находим производную, для этого заключаем обе части под штрихи: Дальнейшие действия несложны: Окончательно:

28. Дифференцирование функций, заданных параметрически.

Пусть зависимость между аргументом х и функцией у задана параметрически в виде двух уравнений ,где t — вспомогательная переменная, называемая параметром.

Найдем производную у'х, считая, что функции имеют производные и что функция х=x(t) имеет обратную t=φ(х). По правилу дифференцирования обратной функции

Функцию у=ƒ(х), определяемую параметрическими уравнениями (21.1), можно рассматривать как сложную функцию у=y(t), где t=φ(х). По правилу дифференцирования сложной функции имеем: у'х=y't•t'x. С учетом равенства (21.2) получаем

Полученная формула позволяет находить производную у'х от функции заданной параметрически, не находя непосредственной зависимости у от х.

29. Дифференциалы высших порядков

Дифференциал второго порядка (или вторым дифференциалом ) d^2y функции y=f(x) называется дифференциал от дифференциала первого порядка этой функции , т.е d^2y=d(dy)

Аналогично дифференциал n-ого порядка (или n-м дифференциалом) d^n называется дифференциал от дифференциала (n-1)-ого порядка этой функции , т.е d^y=d(d^n-1y)

Дифференциал второго (и вообще n-ого) порядка равен произведению производной второго(n-ого) порядка на квадрат (n-ю степень) дифференциала независимой переменной