30. Условие монотонности функции.

Моното́нная фу́нкция — это функция, приращение которой не меняет знака, то есть либо всегда неотрицательное, либо всегда неположительное. Если в дополнение приращение не равно нулю, то функция называется стро́го моното́нной. Монотонная функция — это функция, меняющаяся в одном и том же направлении. Функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Критерий монотонности функции, имеющей производную на интервале. Пусть функция непрерывна на(a,b) и имеет в каждой точке производную f’(x). Тогда

f возрастает на(a,b) тогда и только тогда, когда

f убывает на (a,b) тогда и только тогда, когда

(Достаточное условие строгой монотонности функции, имеющей производную на интервале) Пусть функция непрерывна на(a,b) и имеет в каждой точке производную f’(x) Тогда

если то строго возрастает на (a,b)

если то строго убывает на (a,b)

(Критерий строгой монотонности функции, имеющей производную на интервале) Пусть и всюду на интервале определена производная f’(x) . Тогда f строго возрастает на интервале(a,b) тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:

31.Выпуклость и выгнутость графика функции. Точки перегиба.

График функции y=f(x) называется выпуклым на интервале (a; b), если он расположен ниже любой своей касательной на этом интервале.

График функции y=f(x) называется вогнутым на интервале (a; b), если он расположен выше любой своей касательной на этом интервале.

Определение 1. Функция y=f(x) называется выпуклой вниз на промежутке Х, если для любых двух значений х1, х2 принадлежит Х их этого промежутка выполняется неравенство ) >

Теорема. Функция выпукла вниз(вверх) на промежутке Х тогда и только тогда . когда её первая производная на этом промежутке монотонно возрастает(убывает)

Теорема. Если вторая производная дважды дифференцируемой функции положительна (отрицательно) внутри некоторого промежутка Х, то функция выпукла вниз(верх) на этом промежутке.

Определение 2. Точкой перегиба графика непрерывной функции называется точка , разделяющая интервалы , в которых функция выпукла вниз и вверх

Теорема(необходимые условие перегиба)Вторая производная f”(x) дважды дифференцируемой функции в точке перегиба х0 равна нулю т.е f”(x)=0

Теорема (достаточные условия перегиба ) Если вторая производная f”(x) дважды дифференцируемой функции при переходе через некоторую точка х0 меняет свой знак , то х0 есть точка перегиба её графика.

32.Асимптоты графика функции.

Определение. Асимптотой графика функции y=f(x) называется прямая , обладающая тем свойством , что расстояние от точки (x,f(x)) до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат.

Теорема1.

Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки х0 и хотя бы один их пределов функции при х стремится к х0-0(слева) или при х стремится х0+0(справа) равен бесконечности. Т.е . Тогда прямая х=х0 является вертикальной асимптотой графика функции y=f(x).

Теорема2. Пусть функция y=f(x) определена при достаточно больших х и существует конечный придел Тогда прямая y=b есть горизонтальная асимптота графика функции y=f(x)

Теорема3 Пусть функция y=f(x) определена при достаточно больших х и существует конечный придел и Тогда прямая y=kx+b является вертикальной асимптотой графика функции y=f(x).