45. Несобственные интегралы. Сходимость несобственных интегралов. Понятие абсолютной и условной сходимости несобственных интегралов.

1.Несобственным интегралом _a ∫^+∞ f(x) dx от функции f(x) на полуинтервале [a, +∞) называется предел функции Ф(t) при t, стремящемся к +∞, т.е.

_a ∫^+∞ f(x) dx = lim_{t-> +∞ a}∫^t f(x)dx

2.Если предел, стоящий в правой части равенства

_a ∫^+∞ f(x) dx = lim_{t-> +∞ a}∫^t f(x)dx

существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся (к данному пределу), в противном случае – расходящимся.

3.Понятие абсолютной и условной расходимости интегралов.

Если а) функция   непрерывна на промежутке   и для всякого   существует постоянное   такое, что  ; б) функция   монотонно стремится к нулю при  , то сходится интеграл  . Признак Абеля. Пусть функции   и  определены в промежутке  , причём а) интеграл   сходится; б) функция   монотонна и ограничена:   ( ). Тогда интеграл сходится.

46.Нахождение площади плоской фигуры и объема тела вращения.

1.Площадь плоской фигуры

Декартовые координаты

Площадь между графиками двух функций равна разности интегралов от этих функций в одинаковых пределах интегрирования

Площадь, заключённая между графиком непрерывной функции на интервале и горизонтальной осью, может быть вычислена как определённый интеграл от этой функции:

Площадь, заключённая между графиками двух непрерывных функций на интервале находится как разность определённых интегралов от этих функций:

2. Объём тела вращения

   В частном случае, когда тело образовано вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, заданной непрерывной функцией y = f ( x), а ≤ x ≤ b, объем тела вращения вычисляется по формуле

   Действительно, сечение тела вращения плоскостью, перпендикулярной оси Ох и проходящей через точку (х, 0), представляет собой круг радиуса f(x). Площадь этого сечения (площадь круга) равна S (x) = π ( f ( x ) )². Из формулы объёма тела по параллельным сечениям получаем формулу

   Замечание. Если криволинейная трапеция 0 ≤ х ≤ φ (у), а ≤ у ≤ b вращается вокруг оси Оу, то объем тела вращения найдём по формуле

47.Нахождение длины дуги и площади поверхности тела вращения.

1.Длина кривой (длина дуги кривой) в метрическом пространстве — числовая характеристика протяжённости этой кривой

Евклидова плоскость

Если плоская кривая задана уравнением то её длина равна:

2. где Q-площадь поверхности вращения.

48.Комбинаторика. Размещения, размещения с повторением.

Комбинато́рика (Комбинаторный анализ) — раздел математики, изучающий задачи на составление различных комбинаций из заданного множества элементов. Существуют разделы комбинаторики: размещения, размещения с повторением, перестановки, перестановки с повторением, сочетания, сочетания с повторением.

В комбинаторике размещением называется расположение «предметов» на некоторых «местах» при условии, что каждое место занято в точности одним предметом и все предметы различны. Более формально, размеще́нием (из n по k) называется упорядоченный набор из k различных элементов некоторого n-элементного множества.

Например, — это 4-элементное размещение 6-элементного множества .

Количество размещений из n по k, обозначаемое , равно убывающему факториалу:

Размещение с повторениями или выборка с возвращением — это размещение «предметов» в предположении, что каждый «предмет» может участвовать в размещении несколько раз. По правилу умножения количество размещений с повторениями из n по k равно:

Например, количество вариантов 3-x значного кода, в котором каждый знак является цифрой от 0 до 9 и может повторяться, равно: