- •Тема №3. Устойчивость линейных непрерывных систем
- •§31. Понятие устойчивости и его связь с распределением корней характеристического уравнения
- •§32. Необходимое условие устойчивости
- •§33. Общая характеристика критериев устойчивости
- •§34. Алгебраические критерии устойчивости
- •§37. Частотные критерии устойчивости. Принцип аргумента
- •§38. Критерий устойчивости Михайлова а. В.
- •§39. Правило перемежаемости корней
- •§40. Критерий устойчивости Найквиста
- •§41. Правило переходов
- •§42. Запасы устойчивости
- •§43. Анализ устойчивости систем с запаздыванием
- •§44. Устойчивость сар с иррациональными передаточными функциями
- •§ 45. Области устойчивости
- •§46. Сущность метода d - разбиения
- •§49. Построение областей устойчивости на эвм
- •§50. Структурная устойчивость
- •§51. Виды стабилизации сар и средства ее достижения
- •§51. Методы стабилизации сар
- •§52. Устойчивость нестационарных систем
§49. Построение областей устойчивости на эвм
При использовании ЭВМ в принципе применим метод D- разбиения, однако наибольшее применение получил критерий Рауса.
Задача расчета при этом разбивается на два этапа:
1) Определение коэффициентов характеристического уравнения;
2)Нахождение распределения корней относительно мнимой оси.
Коэффициенты характеристического уравнения находятся по известному векторно-матричному уравнению состояния . Выше было получено характеристическое уравнение для такого матричного описания в общем виде det или
.
Т.к раскрытие определителя высокого порядка представляет собой сложную вычислительную задачу, то обычным путем она не решается.
Искомое характеристическое уравнение в виде находится с применением специальных расчетных методов.
Его корни называются собственными числами матрицы А, а все множество из n корней образует спектр матрицы А.
Коэффициент характеристического уравнения равен сумме диагональных миноров первого порядка, эта сумма называется следом матрицы А и обозначается .
Коэффициент характеристического уравнения равен сумме диагональных миноров второго порядка матрицы А; коэффициент равен определителю матрицы А , т.е. .
Однако и такой способ нахождения коэффициентов неприемлем с вычислительной точки зрения. Практическое применение получили два метода.
Метод Данилевского предполагает приведение характеристической матрицы к
так называемому виду Фробениуса :
После приведения к такому виду коэффициенты характеристического уравнения становятся известными по первой строке. Недостаток метода - в вырождении промежуточных определителей (т.е. близости их нулю).
Второй метод лишен этого недостатка и носит название Леверье-Фаддеева.
Он предполагает выполнение следующей рекуррентной процедуры для вычисления коэффициентов:
… … … … … … … … … … … … … … …
При построении области устойчивости по двум параметрам эта процедура вычисления коэффициентов должна быть произведена многократно для всего множества значений варьируемых параметров. Эти значения определяются в точках пересечения диагоналей прямоугольных ячеек, на которые разбивается плоскость этих параметров.
T1
§50. Структурная устойчивость
Система называется структурно-устойчивой, если ее можно сделать устойчивой без изменения структуры при некоторых положительных вещественных значениях ее параметров. Изменение структуры предполагает добавление или изъятие некоторых звеньев. На практике важно избегать структурно-неустойчивых вариантов и для этого применяются следующие условия структурной устойчивости одноконтурных систем:
1) Для системы без воздействия по первой производной, т.е. такой, у которой числитель передаточной функции в разомкнутом состоянии представляет собой лишь вещественный коэффициент k, т.е. , условие сводится к выполнению совместно двух неравенств
где q - число интегрирующих звеньев,
r - число неустойчивых звеньев первого порядка;
m - число консервативных звеньев;
n - порядок уравнения.
2) Для систем с воздействием по первой производной от рассогласования, т.е. при , условие сводится к выполнению совместно двух неравенств
Сравнение показывает, что воздействие по первой производной благоприятно влияет на устойчивость, т.к. неравенства для второго случая менее жесткие.
Пример. .
Здесь q = 2, n = 3, m = r = 0.
1. Считаем, что Т=0, тогда согласно условию 1 система структурно - неустойчива.
Это подтверждается характеристическим уравнением , для которого, как видно, нарушается необходимое условие устойчивости (нуль перед s).
2. Считаем, что Т>0, тогда согласно условию 2 система структурно - устойчива, что подтверждает и критерий Гурвица:
, т.е. при система будет устойчива, значит она структурно - устойчива.