§ 45. Области устойчивости

Областью устойчивости (ОУ) называется замкнутая или незамкнутая область в пространстве варьируемых параметров, каждой точке которой соответствует устойчивое состояние системы.

В частности, для одного варьируемого параметра пространством является числовая ось, а ОУ представляют отрезки этой оси (см. например §11). Для двух варьируемых параметров пространство представляет собой плоскость, а ОУ - фигуру в этой плоскости. Для трех варьируемых параметров область устойчивости - фигура в трехмерном пространстве. Соответственно этим трем случаям границы ОУ представляют собой точки, линии, поверхности. Для нахождения ОУ применимы аналитические и экспериментальные методы. Аналитические связаны с применением известных критериев устойчивости. Однако существует и специальный метод построения ОУ, известный как метод D - разбиения. Экспериментальное определение областей устойчивости возможно на физических и математических моделях. При этом обычно поочередно варьируется каждый из параметров до появления признаков неустойчивости системы.

§46. Сущность метода d - разбиения

Основные понятия и этапы данного метода следующие:

1) Условно областью D(m) называют такую область в пространстве варьируемых параметров, каждой точке которой соответствует m правых корней характеристического уравнения A(s)=0.

2) ОУ согласно общему подходу обозначается D(0), причем эту область нельзя найти, не построив всех остальных областей (недостаток метода).

3) Граница D - разбиения - это граница, отделяющая D - области друг от друга. Она является отображением мнимой оси плоскости корней в пространстве варьируемых параметров. Это означает, что каждой точке границы D - разбиения соответствует характеристическое уравнение, имеющее один или несколько (обычно 2) корней на мнимой оси.Это свойство позволяет находить уравнение границы D - разбиения из характеристического уравнения после подстановки s = j (т. к. отображаются корни на мнимой оси). Характеристическое уравнение при этом должно быть решено относительно варьируемых параметров, что и составляет первый этап расчета.

На рисунках в качестве иллюстрации показан переход параметров X и Y уравнения Вышнеградского через границу ОУ (D – разбиения) из положения 1 в положение 3 и соответствующий ему переход корней через мнимую ось (положения 2 и 2’).

4) Вторым этапом метода является штриховка границы D - разбиения по определенным правилам. Эта штриховка позволяет определить область с наибольшим числом левых корней в характеристическом уравнении. Эта область называется областью-претендентом (на область устойчивости). Переход через границу D - разбиения с заштрихованной стороны на незаштрихованную сопровождается переходом корней характеристического уравнения из левой полуплоскости в правую в количестве, равном кратности штриховки (одинарная или двойная). Поэтому область - претендент должна быть со всех сторон окружена заштрихованными сторонами границы.

5) Для любой точки области - претендента производится проверка системы на устойчивость по любому известному критерию. Если результат проверки положительный, то область - претендент является искомой областью устойчивости, в противном случае области устойчивости не существует в плоскости варьируемых параметров для данных значений фиксированных параметров.

§47. D - разбиение по одному параметру

Предположим, что параметр входит в характеристическое уравнение линейно, что упрощает расчет. Например, пусть варьируется коэффициент K усиления РСАР в характеристическом уравнении статической системы 3-го порядка: .

Согласно основам метода, необходимо сделать подстановку s=j и решить характеристическое уравнение относительно варьируемого параметра, считая его комплексной величиной. В результате получим уравнение границы D - разбиения в комплексной плоскости:

Графическая часть метода предполагает построение по полученному уравнению границы D - разбиения. Сначала определим точки пересечения границы D - разбиения с осями координат, решив уравнения X()=0 и Y()=0. При этом найдем, что в двух точках Y()=0:

1. =0, X(0)= -1;

2. , .

Когда частота меняется от - до , то получается симметричная относительно оси X граница D - разбиения. Штриховка наносится на границу D - разбиения слева по ходу в направлении возрастания частоты . Точка А самопе-ресечения кривой имеет двойную штриховку, остальные точки одинарную.

Область - претендент – это область I, включающая в себя точку начала координат. Осуществим проверку устойчивости для любой точки области I. Проще всего это сделать для начала координат, т.е. при К=0. При этом убедимся, что область I – область устойчивости. Практический интерес в данной задаче представляет только отрезок ОА вещественной оси, принадлежащей области устойчивости. Причем ОА = X(_1,2) - характеризует граничное значение коэффициента для колебательной границы устойчивости, и соответствующая формула показывает, что наименее благоприятный с точки зрения устойчивости случай получится при равенстве всех постоянных времени. В этом случае К_гр и устойчивость минимальны (К_{гр. мин} =8).

Обоснование правила штриховки для данного случая можно дать, нанеся по тому же правилу штриховку на мнимую ось плоскости корней. Затем следует принять во внимание, что переходу через одну из линий в некотором направлении относительно штриховки будет соответствовать переход через ее отображение в том же направлении относительно штриховки.

§48. D - разбиение по двум параметрам

Предположим, что варьируемые параметры входят в характеристическое уравнение линейно. Например, K и T₁ в характеристическое уравнение статической САР 3-го порядка:

. (1)

Подставим s = j и разделим получившееся комплексное уравнение приравниванием к 0 его вещественной и мнимой частей на два уравнения, образующие систему с двумя неизвестными К и T₁ при некотором значении :

(2)

Функции P₁, Q₁,R₁ - четные, P₂, Q₂, R₂- нечетные. Решаем полученную систему относительно варьируемых параметров и находим уравнение границы Д - разбиения в параметрической форме:

. (3)

Результат (3) получен при решении (2) методом определителей, где главный определитель

Все определители, входящие в (3), являются нечетными функциями , а их частные от деления (К (), T₁()) будут четными функциями .

Затем следует графическая часть расчета по формулам (3). При этом возможны следующие частные случаи:

1) При выбранном значении  все три определителя не равны нулю, что означает наличие единственного решения (3) и дает одну точку границы D - разбиения.

2. При заданном  главный определитель ()=0, а остальные два не равны нулю. В этом случае для T₁ и К получаются бесконечные по модулю значения, что означает разрыв 2-го рода границы D - разбиения и соответствует отсутствию общих решений у системы (2). Такие значения частоты можно определить, решив уравнение ()=0.

В рассматриваемом примере его корни

₁=0; .

Затем найденные значения _i нужно подставить в другие определители. Проверка показывает, что при _2,3 определители _к и _T в ноль не обращаются, значит имеет место разрыв 2-го рода. При =₁=0 определители _к и _T также равны нулю.

3) Все три определителя равны нулю. В этом случае по формулам (3) имеет место неопределенность

.

Это означает, что уравнения (2) становятся линейно зависимыми, т. е. вырождаются в одно уравнение с двумя неизвестными, которое имеет бесконечное множество решений. Геометрически этот результат выражается в том, что на плоскости варьируемых параметров при =_i появляется особая прямая, уравнением которой может служить любое из уравнений (2). Если любым известным образом вскрыть неопределенность , то получаем одну точку границы D - разбиения, общую с особой прямой. Этой точкой, в частности, может быть и точка касания в бесконечности.

Наиболее часто данный случай встречается при =0, т. к. все 3 определителя - нечетные функции . Соответствующая особая прямая для =0 может быть получена, если непосредственно в характеристическом уравнении положить s=0, тогда это уравнение примет вид a_n(К, T₁) = 0, где a_n - свободный член характеристического уравнения. Если a_n не зависит от варьируемых параметров, то особой прямой не будет. В данном конкретном примере особая прямая К= -1. После вскрытия неопределенности получаем точку К= -1, T₁= - (T₂+ T₃) границы Д-разбиения на этой прямой.

4) При = все определители обращаются в бесконечность и по формулам (3) получаем неопределенность

.

Этот случай также соответствует вырождению двух уравнений в одно, т. е. появлению особой прямой. Уравнение особой прямой для = наиболее просто получить из характеристического, если поделить его почленно на старшую степень sⁿ и затем подставить s=j∞. В результате все слагаемые устремятся к нулю, кроме коэффициента при старшей степени. Таким образом, уравнение этой особой прямой будет иметь вид: a₀(К,T₁)=0.

Если a₀ не зависит от варьируемых параметров, то особой прямой не будет. Все замечания п. 3 относительно общей точки справедливы и здесь. Для конкретного примера T₁=0 - особая прямая для .

При построении по горизонтальной оси откладываем параметр, стоящий в уравнениях (2) первым, т. к. это влияет на правильность штриховки. Штриховка границы D- разбиения производится слева по ходу в направлении возрастания , если ( ) >0 и наоборот. При этом всегда получается двойная штриховка с одной и той же стороны. Штриховка особых прямых должна быть такой , чтобы вблизи общих точек заштрихованные стороны прямой и границы D- разбиения были бы обращены друг к другу, причем на особые прямые для =0 и = наносится одинарная штриховка.

К

Т₁

D(2)

D(0)

График D- разбиения для рассмотренного примера(см. рис.) в частности показывает , что при малых значениях коэффициента усиления К допустимы по устойчивости любые значения Т₁ , при больших значениях К допустимы или сравнительно малые, или достаточно большие значения Т₁ , т.е. существенно отличающиеся от других постоянных времени системы.