2. Расчетная часть.

Имеются следующие выборочные данные о деятельности российских банков (выборка 3%-ная механическая), млн. руб.:

№ банка п/п	Прибыль	Собственный капитал
1	62	1969
2	175	5207
3	83	840
4	153	1828
5	118	589
6	170	1368
7	139	2080
8	200	2400
9	244	3681
10	268	5590
11	342	8587
12	329	2971
13	289	6930
14	66	1115
15	121	1076
16	129	1969
17	166	4703
18	67	440
19	282	2960
20	148	981
21	165	3808
22	198	530
23	163	895
24	240	2818
25	224	3034
26	165	1079
27	213	2918
28	64	985
29	111	2020
30	119	1576
31	93	1152
32	189	3810
33	203	2400
34	237	4077
35	215	2338
36	153	1517
37	306	2646

2.1 Задание 1

1. Постройте статистический ряд распределения банков по признаку прибыль, образовав 5 групп с равными интервалами.

2. Постройте графики полученного ряда распределения. Графически определите значения моды, медианы, первый и третий квартили и первый и девятый децили.

3. Рассчитайте характеристики интервального ряда распределения: среднюю арифметическую, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.

4. Вычислите среднюю арифметическую по исходным данным, сравните ее с аналогичным показателем, рассчитанным в п. 3 для интервального ряда распределения. Объясните причину их расхождения.

Сделайте выводы по результатам выполнения задания.

Решение.

1. Построение ранжированного ряда по группировочному признаку (прибыль). Ранжированный ряд – это такой ряд, единицы совокупности которого расположены в упорядоченном виде (по возрастанию). Число групп (n) по условию = 5.

Определения величины интервала по формуле (1)

i = ( x _max – x _min ) / n

где i – величина интервала

x _max - максимальное значение группировочного признака в исследуемой совокупности.

x _min - минимальное значение группировочного признака в исследуемой совокупности.

n – число групп.

i = (342 – 62)/5 = 56 (млн. руб.)

Группы банков по признаку «прибыль» получим путем прибавления величины интервала к минимальному уровню признака в группе:

1. [62; 118)

2. [118; 174)

3. [174; 230)

4. [230; 286)

5. [286; 342]

Представим зависимость между прибылью банков и их собственным капиталом в табличном виде (таблица 1)

Таблица 1

Ранжированный ряд.

Итого, в первой группе количество банков , во второй группе , в третьей группе , в четвертой группе , в пятой группе . Общее число банков .

Составим таблицу с результатами группировки (таблица 2)

Таблица 2

Результат группировки

Вывод: Банков со средней прибылью почти половины из всех банков (54,76%); банков с маленькой прибылью – 18,92%; с крупной прибылью – 24,32%.

2. Построение графиков полученного ряда распределения (полигон, гистограмма, кумулята).

а) Полигон – это графическое отображение дискретного ряда распределения в декартовой системе координат в виде многоугольник на оси абсцисс.

Рис. 1 Полигон

б) Гистограмма – это графическое отображение интервального ряда распределения в виде прямоугольников на оси абсцисс. Ширина прямоугольника – величина интервала, высота прямоугольника – частота

Рис. 2 Гистограмма.

в) Кумулята – это графическое изображения ряда распределения по накопленным (кумулятивным) частотам. Кумулятивная частота представляет собой численность единиц совокупности, образуемую от группы к группе путем суммирования предыдущих частот.

Рис. 3 Кумулята

Мода (М_о) – это значение признака, которое чаще всего встречается в статистической совокупности, т.е. это вариант с максимальной частотой. Мода определяется по гистограмме. Примерное значение моды по графику 150 млн. руб. Моду также можно найти по формуле (2)

М₀= Х_Мо+i_Mo*((f_Mo-f_Mo-1)/( f_Mo-f_Mo-1)+ (f_Mo-f_Mo+1)) (2)

М₀=118+56*((13-7)/(13-7)+(13-8))=148,5 (млн. руб.)

Мода = 148,5 говорит о том, что большинство из изученных банков имеет величину прибыли 148,5 млн. руб.

Медиана (М_е) – это значение признака, которое находится в середине ранжированного вариационного ряда и делит его по сумме частот на 2 равные части. Медиана находится по кумуляте в интервале, кумулятивная частота в котором равна или только начала превышать половину суммы всех частот. Примерное значение медианы по графику = 170 млн. руб. Медиану можно найти более точно по формуле (3)

. (3)

=167,5 (млн. руб.)

Медиана = 167,5 млн. руб. означает, что в исследуемой совокупности половина банков имеют прибыль до 167,5 млн. руб., а другая половина банков свыше 167,5 млн. руб.

Первый квартиль – это значение признака, которое делит вариационный ряд по сумме частот на 4 равные части и находится в ¼ от начала ранжированного вариационного ряда. Первый квартиль находится по кумуляте в интервале, кумулятивная частота в котором равна или только начала превышать ¼ суммы всех частот. Примерное значение первого квартиля по графику = 130 млн. руб. Первый квартиль находится по формуле (4)

(4)

=118+56 =127,7 (млн. руб.)

Третий квартиль – находится в ¾ от начала ранжированного вариационного, по кумуляте в интервале, кумулятивная частота в котором равна или только начала превышать ¾ суммы всех частот. Примерное значение третьего квартиля по графику = 229 млн. руб. Третий квартиль находится по формуле (5)

(5)

=207,6 (млн. руб.)

Первый дециль – это вариант, который делит вариационный ряд на 10 равных частей и находится в 1/10 от начала ранжированного вариационного ряда. Первый дециль находится по кумуляте в интервале, кумулятивная частота в котором равна или только начала превышать 1/10 суммы всех частот. Примерное значении первого дециля по графику = 80 млн. руб. Первый дециль находится по формуле (6)

(6)

(млн. руб.)

Девятый дециль - это вариант, который делит вариационный ряд на 10 равных частей и находится в 9/10 от начала ранжированного вариационного ряда. Девятый дециль находится по кумуляте в интервале, кумулятивная частота в котором равна или только начала превышать 9/10 суммы всех частот. Примерное значении девятого дециля по графику = 290 млн. руб. Девятый дециль находиться по формуле (7)

(7)

(млн. руб.)