- •Определение линейного пространства. Примеры линейных пространств. Некоторые свойства их свойства.
- •Линейная зависимость и независимость элементов линейного пространства. Свойства.
- •Базис линейного пространства. Единственность разложения элемента линейного пространства по базису. Линейные операции над элементами, заданными в координатах.
- •Размерность линейного пространства. Две теоремы о связи размерности линейного пространства и базиса.
- •Изоморфизм линейного пространства. Теорема об изоморфизме линейных пространств одинаковой размерности.
- •Подпространство линейного пространства. Примеры. Линейная оболочка. Примеры. Размерность подпространства. Теорема о размерности линейной оболочки.
- •Сумма и пересечение подпространств. Теорема о сумме размерностей произвольных подпространств.
- •Разложение линейного пространства в прямую сумму подпространств. Определение и теорема.
- •Прямое и обратное преобразование базисов. Доказательство непрерывности матрицы перехода от одного базиса к другому. Преобразование координат при преобразовании базиса.
- •Вещественное евклидово пространство, примеры. Неравенство Коши-Буняковского.
- •Нормированное линейное пространство. Норма в евклидовом пространстве. Угол между элементами линейного пространства. Ортогональные элементы. Теорема Пифагора.
- •Ортонормированный базис в евклидовом пространстве. Теорема о существовании ортонормированного базиса. Процесс ортогонализации.
- •Скалярное произведение в ортонормированном базисе. Смысл координат произвольного элемента в этом базисе.
- •Разложение евклидова пространства на прямую сумму подпространства и его ортогонального дополнения.
- •Теорема об изоморфизме евклидовых пространств.
- •Комплексное евклидово пространство. Следствия из аксиом. Неравенство Коши-Буняковского. Норма. Скалярное произведение.
- •Определение линейного оператора . Действие над линейными операторами. Пространство линейных операторов. Нулевой, противоположный и тождественный операторы.
- •Свойства множества линейных операторов l(V,V). Обратный оператор.
- •Матрица линейного оператора. Теорема о соответствии каждой квадратной матрице линейного оператора.
- •Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису.
Разложение линейного пространства в прямую сумму подпространств. Определение и теорема.
Пусть L1 и L2 – два подпространства линейного n-мерного пространства L.
Определение. Пространство L представляет собой прямую сумму подпространств L1 и L2, если каждый элемент x пространства L может быть единственным способом представлен в виде суммы x=x1+x2 элемента x1 подпространства L1 и элемента x2 подпространства L2.
О бозначение. L=L1 L2 (Разложение пространства L в прямую сумму подпространств L1 и L2)
Теорема. Для того чтобы n-мерное пространство L представляло собой прямую сумму подпространств L1 и L2, достаточно, чтобы пересечение L1 и L2 содержало только нулевой элемент и чтобы размерность L бы равна сумме размерностей подпространств L1 и L2.
Доказательство.
Выберем некоторый базис e1, e2,…, ek в подпространстве L1 и некоторый базис g1, g2,…, gl в подпространстве L2. Докажем, что объединение этих базисов e1,…, ek, g1,…, gl представляет собой базис всего пространства L. Так как по условию теоремы размерность n всего пространства L равна сумме (k+l) размерностей L1 и L2, то достаточно доказать линейную независимость элементов e1,…, ek, g1,…, gl.
Предположим, что некоторая линейная комбинация элементов e1,…, ek, g1,…, gl представляет собой нулевой элемент, то есть справедливо равенство α1e1+…+αkek+β1g1+…+βlgl=0 или α1e1+…+αkek=-β1g1-…-βlgl. Так как левая часть является элементом L1, а правая – элементом L2, а пересечение L1 и L2 содержит лишь нулевой элемент, то как левая, так и правая часть представляет собой нулевой элемент, а это( на основании линейной независимости элементов каждого из базисов e1,…, ek и g1,…, gl) возможно лишь при условии α1=…=αk=0, β1=…=βl=0. Тем самым мы установили, что равенство α1e1+…+αkek+β1g1+…+βlgl=0 возможно лишь при условии α1=…=αk=0, β1=…=βl=0, а это и доказывает линейную независимость элементов e1,…, ek, g1,…, gl и тот факт, что элементы e1,…, ek, g1,…, gl образуют базис всего пространства L.
Пусть теперь x – любой элемент L. Разложив его по базису e1,…, ek, g1,…, gl, будем иметь x=λ1e1+…+λkek+μ1g1+…+μlgl или x=x1+x2, где x1= λ1e1+…+λkek – элемент L1, а x2= μ1g1+…+μlgl – элемент L2. Остается доказать, что представление x=x1+x2 является единственным. Предположим, что, кроме x=x1+x2, справедливо и еще одно представление x=x’1+x’2, где x’1 – элемент L1, а x’2 – элемент L2. Вычитая x=x’1+x’2 из x=x1+x2, получим, что 0=x1-x’1+x2-x’2 или x1-x’1=x2-x’2. Так как в левой части последнего равенства стоит элемент L1, а в правой – элемент L2, и поскольку пересечение L1 и L2 содержит лишь нулевой элемент, то из этого равенства следует, что x1-x’1=0, x2-x’2=0, то есть x1=x’1, x2=x’2. Теорема доказана.
Прямое и обратное преобразование базисов. Доказательство непрерывности матрицы перехода от одного базиса к другому. Преобразование координат при преобразовании базиса.
Пусть e1, e2,…, en и e’1, e’2,…, e’n – два произвольных базиса n-мерного линейного пространства L. Как всякий элемент пространства L, каждый элемент e’1, e’2,…, e’n может быть разложен по базису e1, e2,…, en. Предположим, что элементы e’1, e’2,…, e’n выражаются через e1, e2,…, en с помощью формул
e ’1=α11e1+α12e2+…+α1nen,
e’2= α21e1+α22e2+…+α2nen,
e’n= αn1e1+αn2e2+…+αnnen.
Обозначим
e1 e’1
E= e2 E’= e’2 A=(aij)nxn
e3 e’3
Тогда эта формула принимает вид E’=AE. Матрица A – матрица преобразований при переходе к новому базису. Докажем, что матрица A невырожденная. Пусть Ʃni=1βie’i, все βi=0. Подставляя сюда e’i=Ʃnj=1αijej из формул, получим Ʃnj=1ejƩni=1βiαij=0. Так как элементы базиса ek линейно независимы, то все Ʃni=1βiαij=0 (при любых j от 1 до n). Это равенство является однородной СЛАУ и эта система имеет только нулевое решение. Значит det A≠0 (иначе ранг A был бы равен n, а этого не может быть он меньше n). Тогда формула E’=AE принимает вид E=A-1E’.
Прямое и обратное преобразование координат при изменении базиса.
П усть базис e1, e2,…, en преобразуется в базис e’1, e’2,…, e’n с помощью невырожденной матрицы A, так что обратное преобразование базисов задается матрицей
A11/∆ A21/∆… An1/∆
B= A12/∆ A22/∆… An2/∆
A1n/∆ A2n/∆… Ann/∆
П усть далее x – произвольный элемент рассматриваемого линейного пространства L, (x1, x2,.., xn) – его координаты относительно первого базиса e1, e2,…, en, (x’1, x’2,…, x’n) – его координаты относительно второго базиса e’1, e’2,…, e’n, так что x=x’1e’1,+x’2e’2+…+x’ne’n=x1e1+x2e2+…+xnen. Подставив в это равенство вместо элементов e1, e2,…, en их выражения, определяемые формулами,
e1=(A11/∆)e’1+(A21/∆)e’2+…+(An1/∆)e’n
e2=(A12/∆)e’1+(A22/∆)e’2+…+(An2/∆)e’n
en=(A1n/∆)e’1+(A2n/∆)e’2+…+(Ann/∆)e’n
п олучим x=x’1e’1,+x’2e’2+…+x’ne’n=x1((A11/∆)e’1+(A21/∆)e’2+…+(An1/∆)e’n)+x2((A12/∆)e’1+(A22/∆)e’2+…+(An2/∆)e’n)+…+xn(A1n/∆)e’1+(A2n/∆)e’2+…+(Ann/∆)e’n). Из последнего равенства (в силу единственности разложения по базису e’1, e’2,…, e’n) сразу вытекает формулы перехода от координат (x1, x2,.., xn) относительно первого базиса к координатам (x’1, x’2,…, x’n) относительно второго базиса.
x’1=(A11/∆)x1+(A12/∆)x2+…+(A1n/∆)xn
x’2=(A21/∆)x1+(A22/∆)x2+…+(A2n/∆)xn
x’n=(An1/∆)x1+(An2/∆)x2+…+(Ann/∆)xn
Э ти формулы показывают, что переход от координат (x1, x2,.., xn) к координатам (x’1, x’2,…, x’n) осуществляется с помощью матрицы транспонированной к обратной матрице B.
A11/∆ A12/∆… A1n/∆
C= A21/∆ A22/∆… A2n/∆
An1/∆ An2/∆… Ann/∆
Вывод.
Если переход от первого базиса ко второму осуществляется с помощью невырожденной матрицы A, то переход от координат произвольного элемента относительно первого базиса к координатам этого элемента относительно второго базиса осуществляется с помощью матрицы (A-1)’, транспонированной к обратной матрице (A-1).