7. Сумма и пересечение подпространств. Теорема о сумме размерностей произвольных подпространств.

Пусть K₁ и K₂ – два произвольных подпространства одного и того же линейного пространства L.

Определение. Совокупность всех элементов x пространства L, принадлежащих одновременно K₁ и K₂, образуют подпространство пространства L, называемое пересечением подпространств K₁ и K₂.

Определение. Совокупность всех элементов пространства L вида x+y, где x – элемент подпространства K₁, а y – элемент подпространства K₂, образует подпространство пространства L, называемое суммой подпространств K₁ и K₂.

Пример.

Пусть L – линейной пространство всех свободных векторов (в трехмерном пространстве), K₁ – подпространство всех свободных векторов, параллельных плоскости Oxy, K₂ – подпространство всех свободных векторов, параллельных плоскости Oxz. Тогда суммой подпространств K₁ и K₂ будет являться все пространство L, а пересечением подпространств K₁ и K₂ будет являться множество всех свободных векторов, параллельных оси Ox. (Размерность каждого из подпространств K₁ и K₂ равна 2, размерность их суммы равна 3, а размерность их пересечения равна 1)

Теорема. Сумма размерностей произвольных подпространств K₁ и K₂ конечномерного линейного пространства L равна сумме размерности пересечения этих подпространств и размерности суммы этих подпространств.

Доказательство.

Обозначим через K₀ пересечение K₁ и K₂, а через K^’ – сумму K₁ и K₂. Считая K₀ k-мерным, выберем в нем базис e₁, e₂,…, e_k. Дополним базис до базиса e₁,…e_k, g₁,…, g_l в подпространстве K₁ и до базиса e₁,…, e_k, f₁,…, f_m в подпространстве L₂. Достаточно доказать, что элементы g₁,…, g_l, e₁,…, e_k, f₁,…, f_m являются базисом суммы K^’ подпространств K₁ и K₂. Для этого в свою очередь достаточно доказать, что элементы g₁,…, g_l, e₁,…, e_k, f₁,…, f_m линейно независимы и что любой элемент x суммы K^’ представляет собой некоторую линейную комбинацию элементов g₁,…, g_l, e₁,…, e_k, f₁,…, f_m.

Сначала докажем, что элементы g₁,…, g_l, e_k, f₁,…, f_m линейно независимы. Предположим, что некоторая линейная комбинация элементов g₁,…, g_l, e₁,…, e_k, f₁,…, f_m представляет собой нулевой элемент, то есть справедливо равенство α₁g₁+…+α_lg_l+β₁e₁+…+β_ke_k+γ₁f₁+…+γ_mf_m=0 или α₁g₁+…+α_lg_l+β₁e₁+…+β_ke_k=-γ₁f₁-…-γ_mf_m. Так как левая часть является элементом K₁, а правая часть является элементом K₂, то как левая, так и правая часть принадлежит пересечению K₀ подпространств K₁ и K₂. Отсюда следует, в частности, что правая часть представляет собой некоторую линейную комбинацию элементов e₁, e₂,…, e_k, то есть найдутся такие числа λ₁,…, λ_k, что -γ₁f₁-…-γ_mf_m=λ₁e₁+…+λ_ke_k.

В силу линейной независимости базисных элементов e₁,…, e_k, f₁,…, f_m равенство -γ₁f₁-…-γ_mf_m=λ₁e₁+…+λ_ke_k возможно лишь в случае, когда все коэффициенты γ₁,…γ_m, λ₁,…, λ_k равны нулю. Но при этом из α₁g₁+…+α_lg_l+β₁e₁+…+β_ke_k+γ₁f₁+…+γ_mf_m=0 мы получим, что α₁g₁+…+α_lg_l+β₁e₁+…+β_ke_k=0. В силу линейной независимости базисных элементов e₁,…e_k, g₁,…, g_l равенство α₁g₁+…+α_lg_l+β₁e₁+…+β_ke_k=0 возможно лишь в случае, когда все коэффициенты α₁,…,α_l,β₁,…, β_k равны нулю. Тем самым мы установили, что равенство α₁g₁+…+α_lg_l+β₁e₁+…+β_ke_k+γ₁f₁+…+γ_mf_m=0 возможно лишь в том случае, когда все коэффициенты α₁,…,α_l,β₁,…, β_k, γ₁,…γ_m равны нулю, а это и доказывает линейную независимость элементов g₁,…, g_l, e₁,…, e_k, f₁,…, f_m.

Остается доказать, что любой элемент x суммы K^’ представляет собой некоторую линейную комбинацию элементов g₁,…, g_l, e₁,…, e_k, f₁,…, f_m, но это сразу следует из того, что этот элемент x представляет собой (по определению K^’) сумму некоторого элемента x₁ подпространства K₁, являющегося линейной комбинацией элементов e₁,…e_k, g₁,…, g_l, и некоторого элемента x₂ подпространства K₂, являющегося линейной комбинацией элементов e₁,…, e_k, f₁,…, f_m. Теорема доказана.