- •Определение линейного пространства. Примеры линейных пространств. Некоторые свойства их свойства.
- •Линейная зависимость и независимость элементов линейного пространства. Свойства.
- •Базис линейного пространства. Единственность разложения элемента линейного пространства по базису. Линейные операции над элементами, заданными в координатах.
- •Размерность линейного пространства. Две теоремы о связи размерности линейного пространства и базиса.
- •Изоморфизм линейного пространства. Теорема об изоморфизме линейных пространств одинаковой размерности.
- •Подпространство линейного пространства. Примеры. Линейная оболочка. Примеры. Размерность подпространства. Теорема о размерности линейной оболочки.
- •Сумма и пересечение подпространств. Теорема о сумме размерностей произвольных подпространств.
- •Разложение линейного пространства в прямую сумму подпространств. Определение и теорема.
- •Прямое и обратное преобразование базисов. Доказательство непрерывности матрицы перехода от одного базиса к другому. Преобразование координат при преобразовании базиса.
- •Вещественное евклидово пространство, примеры. Неравенство Коши-Буняковского.
- •Нормированное линейное пространство. Норма в евклидовом пространстве. Угол между элементами линейного пространства. Ортогональные элементы. Теорема Пифагора.
- •Ортонормированный базис в евклидовом пространстве. Теорема о существовании ортонормированного базиса. Процесс ортогонализации.
- •Скалярное произведение в ортонормированном базисе. Смысл координат произвольного элемента в этом базисе.
- •Разложение евклидова пространства на прямую сумму подпространства и его ортогонального дополнения.
- •Теорема об изоморфизме евклидовых пространств.
- •Комплексное евклидово пространство. Следствия из аксиом. Неравенство Коши-Буняковского. Норма. Скалярное произведение.
- •Определение линейного оператора . Действие над линейными операторами. Пространство линейных операторов. Нулевой, противоположный и тождественный операторы.
- •Свойства множества линейных операторов l(V,V). Обратный оператор.
- •Матрица линейного оператора. Теорема о соответствии каждой квадратной матрице линейного оператора.
- •Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису.
Подпространство линейного пространства. Примеры. Линейная оболочка. Примеры. Размерность подпространства. Теорема о размерности линейной оболочки.
Предположим, что некоторое подмножество K линейного пространства L удовлетворяет следующим двум требованиям:
Если элементы x и y принадлежат подмножеству K, то и сумма x+y принадлежит этому подмножеству.
Если элемент x принадлежит подмножеству K, а λ – любое вещественное число, то и элемент λx принадлежит подмножеству K.
Определение. Подмножество K линейного пространства L, удовлетворяющее двум требованиям, называется линейным подпространством (или просто подпространством) пространства L.
Примеры.
Нулевое подпространство (то есть подмножество линейного пространства L, состоящее из одного нулевого элемента)
Все пространство L (которое можно рассматривать как подпространство)
Оба эти подпространства принято называть несобственными. Собственные подпространства – подпространство, отличное от всего пространства и содержащее хотя бы один ненулевой элемент.
Подмножество {Pn(t)} всех алгебраических многочленов степени, не превышающих натурального числа n, в линейном пространстве C[a,b] всех функций x=x(t), определенных и непрерывных на сегменте a≤t≤b
Подмножество B2 всех свободных векторов, параллельных некоторой плоскости, в линейном пространстве B3 всех свободных векторов
Пусть x1, x2,…, xn – совокупность элементов некоторого линейного пространства L.
Определение. Линейной оболочкой элементов x1, x2,…, xn называется совокупность всех линейных комбинаций этих элементов, то есть множество элементов вида α1x1+α2x2+…+αnxn, где α1, α2,…, αn – какие угодно вещественные числа.
Линейную оболочку элементов x1, x2,…, xn обозначают символом K(x1, x2,…, xn). Всякая линейная оболочка является подпространством основного линейного пространства L. Линейная оболочка элементов x1, x2,…, xn является наименьшим подпространством, содержащим элементы x1, x2,…, xn.
Примеры.
Конкретным примером линейной оболочки может служить линейная оболочка элементов 1, t, t2,…, tn линейного пространства C[a,b] всех функций x=x(t), определенных и непрерывных на сегменте a≤t≤b. Эта линейная оболочка представляет собой множество {Pn(t)} всех алгебраических многочленов степени, не превышающих натурального числа n
Линейной оболочкой двух не лежащей на одной прямой векторов x1 и x2 будет совокупность всех векторов, расположенных в плоскости, которую определяют векторы x1 и x2.
В трехмерном пространстве линейной оболочкой одного ненулевого вектора x1 будет совокупность всех векторов, лежащих на прямой, определяемой вектором x1.
Линейной оболочкой вектора a является множество векторов коллинеарных a.
Возьмем вектор i, тогда K(вектор i)={все векторы на оси Ox}=Ox
Вектор a≠0, то K(a)={прямая, содержащая вектор a}
K(i,j)=xOy={xi+yj}
K(i,jk)=V3
Размерность любого подпространства n-мерного линейного пространства L не превосходит размерности n пространства L (ибо всякая линейно независимая система элементов подпространства является линейно независимой системой элементов всего пространства L). Более точно можно утверждать, что если подпространство K не совпадает со всем n-мерным линейным пространством L, то размерность K строго меньше n. Заметим, что если во всем пространстве L выбран базис e1, e2,…, en, то базисные элементы подпространства K, вообще говоря, нельзя выбирать из числа элементов e1, e2,…, en (ибо в общем случае ни один из элементов e1, e2,…, en может не принадлежать K). Однако справедливо обратное утверждение: если элементы e1, e2,…, ek составляют базис k-мерного подпространства n-мерного линейного пространства L, то этот базис можно дополнить элементами ek+1,…, en пространства L так, что совокупность элементов e1,…, ek, ek+1,…, en будет составлять базис всего пространства L.
Теорема. Размерность линейной оболочки K(x1, x2,…, xn) элементов x1, x2,…, xn равна максимальному числу линейно независимых элементов в системе элементов x1, x2,…, xn. В частности, если элементы x1, x2,…, xn линейно независимы, то размерность линейной оболочки L(x1, x2,…, xn) равна числу элементов x1, x2,…, xn (а сами эти элементы образуют базис линейной оболочки L(x1, x2,…, xn))
Доказательство.
Допустим, что среди элементов x1, x2,…, xn имеется r линейно независимых элементов (обозначим x1, x2,…, xr), а любые (r+1) из элементов x1, x2,…, xn линейно зависимы. Тогда каждый из элементов x1, x2,…, xn представляет собой некоторую линейную комбинацию элементов x1, x2,…, xr, и поскольку по определению каждый элемент линейной оболочки L(x1, x2,…, xn) представляет собой некоторую линейную комбинацию элементов x1, x2,…, xn, то каждый элемент указанной линейной оболочки представляет собой некоторую линейную комбинацию одних только элементов x1, x2,…, xr. Но это и означает, что система линейно независимых элементов x1, x2,…, xr образует базис линейной оболочки L(x1, x2,…, xn) и что размерность L(x1, x2,…, xn) равна r. Теорема доказана.