- •Определение линейного пространства. Примеры линейных пространств. Некоторые свойства их свойства.
- •Линейная зависимость и независимость элементов линейного пространства. Свойства.
- •Базис линейного пространства. Единственность разложения элемента линейного пространства по базису. Линейные операции над элементами, заданными в координатах.
- •Размерность линейного пространства. Две теоремы о связи размерности линейного пространства и базиса.
- •Изоморфизм линейного пространства. Теорема об изоморфизме линейных пространств одинаковой размерности.
- •Подпространство линейного пространства. Примеры. Линейная оболочка. Примеры. Размерность подпространства. Теорема о размерности линейной оболочки.
- •Сумма и пересечение подпространств. Теорема о сумме размерностей произвольных подпространств.
- •Разложение линейного пространства в прямую сумму подпространств. Определение и теорема.
- •Прямое и обратное преобразование базисов. Доказательство непрерывности матрицы перехода от одного базиса к другому. Преобразование координат при преобразовании базиса.
- •Вещественное евклидово пространство, примеры. Неравенство Коши-Буняковского.
- •Нормированное линейное пространство. Норма в евклидовом пространстве. Угол между элементами линейного пространства. Ортогональные элементы. Теорема Пифагора.
- •Ортонормированный базис в евклидовом пространстве. Теорема о существовании ортонормированного базиса. Процесс ортогонализации.
- •Скалярное произведение в ортонормированном базисе. Смысл координат произвольного элемента в этом базисе.
- •Разложение евклидова пространства на прямую сумму подпространства и его ортогонального дополнения.
- •Теорема об изоморфизме евклидовых пространств.
- •Комплексное евклидово пространство. Следствия из аксиом. Неравенство Коши-Буняковского. Норма. Скалярное произведение.
- •Определение линейного оператора . Действие над линейными операторами. Пространство линейных операторов. Нулевой, противоположный и тождественный операторы.
- •Свойства множества линейных операторов l(V,V). Обратный оператор.
- •Матрица линейного оператора. Теорема о соответствии каждой квадратной матрице линейного оператора.
- •Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису.
Линейная зависимость и независимость элементов линейного пространства. Свойства.
Определение. Всякий вектор XєL, представленный в виде X=α1x1+α2x2+…+αnxn (где α1, α2,…, αn – коэффициенты линейной комбинации (некоторые числа)) называется линейной комбинацией элементов x1, x2,…, xn.
Определение. Система векторов x1, x2,…, xn называется линейно зависимой, если существует комбинация X=α1x1+α2x2+…+αnxn равная нулевому элементу, где среди чисел α1, α2,…, αn хотя бы одно отлично от нуля.
Определение. Система векторов x1, x2,…, xn называется линейно независимой, если равенство α1x1+α2x2+…+αnxn равно нулевому элементу, только при α1=α2=…=αn=0.
Свойства:
Если k(k<n) элементов системы линейно зависимы, то и вся система линейно зависима.
Если в систему элементов входит нулевой элемент, то система линейно зависима.
Если из системы линейно независимых элементов x1, x2,…, xn отбросить r(r<n) элементов, то оставшиеся элементы тоже образуют линейно независимую систему.
Если среди элементов имеются такие элементы xk и xm, что xk=λxm, где λ – некоторое число, то система линейно зависима.
Если среди элементов x1, x2,…, xn имеется нулевой элемент, то эта элементы линейно зависима.
Если часть элементов x1, x2,…, xn являются линейно зависимыми, то и все эти элементы являются линейно зависимыми.
Теорема. Для того чтобы элементы x1, x2,…, xn пространства L были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы один из этих элементов являлся линейно комбинацией остальных элементов.
Доказательство.
Необходимость. Пусть элементы x1, x2,…, xn линейно зависимы, то есть справедливо равенство α1x1+α2x2+…+αnxn=0, в котором хотя бы одно из чисел α1, α2,…, αn отлично от нуля. Пусть для определенности α1≠0. Тогда поделив равенство на это число и введя обозначение λ1=-α2/α1,…, λn=-αn/α1 можно переписать равенство в виде x1= λ1x2+λ2x3+…+λnxn, а это и означает, что элемент x1 является линейно комбинацией элементов x2, x3,…, xn.
Достаточность. Пусть один из элементов (например, x1) является линейной комбинацией элементов x2, x3,…, xn. Тогда найдутся λ1, λ2,…, λn, такие что справедливо равенство x1= λ1x2+λ2x3+…+λnxn. Но это равенство можно переписать в виде (-1)x1+λ1x2+λ2x3+…+λnxn=0. Так как из чисел (-1), λ1, λ2,…, λn одно отлично от нуля, то это равенство устанавливает линейную зависимость элементов x1, x2,…, xn. Теорема доказана.
Система из n линейно независимых элементов, будет линейно зависимой, если она будет состоять и n+1 элементов.
Рассмотрим это утверждение на примере элементов просkтранства An:
e 1=(1, 0, 0,…, 0)
e2=(0, 1, 0,…, 0)
en=(0, 0, 0,…, 1)
Рассмотрим эту линейную комбинацию элементов с какими-либо числами α1, α2,…, αn. В силу аксиом эта комбинация представляет собой элемент α1e1+α2e2+…+αnen=( α1, α2,…, αn), который является нулевым только при условии α1=α2=…=αn=0. Но это и означает линейную независимость элементов.
Докажем теперь, что система, состоящая из n элементов и еще одного произвольного элемента x=( x1, x2,…, xn) пространства An является линейно зависимой. В силу теоремы достаточно доказать, что элемент x=( x1, x2,…, xn) представляет линейно комбинацией остальных элементов, а это очевидно, ибо в силу аксиом x=( x1, x2,…, xn)=x1e1+x2e2+…+xnen