19. Матрица линейного оператора. Теорема о соответствии каждой квадратной матрице линейного оператора.

Фиксируем в линейном пространстве V базис e₁, e₂,…, e_n. Пусть x – произвольный элемент V и x=Ʃⁿ_k=1x^ke_k. расположение x по данному базису.

Пусть A – линейный оператор из L(V,V). Тогда из x=Ʃⁿ_k=1x^ke_k получаем Ax=Ʃⁿ_k=1x^kAe_k. Полагая Ae_k=Ʃⁿ_j=1α^j_ke_j перепишем Ax=Ʃⁿ_k=1x^kAe_k в следющей форме

Ax=Ʃⁿ_k=1x^k Ʃⁿ_j=1α^j_ke_j= Ʃⁿ_j=1(Ʃⁿ_k=1α^j_kx_k)e_j.

Таким образом, если y=Ax и элемент y имеет координаты y¹, y²,…, yⁿ, то y^j= Ʃⁿ_k=1α^j_kx_k, j=1, 2,…, n.

Рассмотрим квадратную матрицу A с элементами α^j_k: A=( α^j_k). Эта матрица называется матрицей линейного оператора в заданной базисе e₁, e₂,…, e_n.

Замечание 1. Если оператор A нулевой, то все элементы матрицы A этого оператора ранй нулю в любом базисе, то есть A – нулевая матрица.

Замечание 2. Если оператор A единичный, то есть A=I, то матрица этого оператора будет единичной в любом базисе. Иными словами, в этом случае A=E, где E – единичная матрица. (Обозначение единичной матрицы I).

Теорема. Пусть в линейном пространстве V задан базис e₁, e₂,…, e_n и пусть A=(α^j_k) – квадратная матрица, содержащая n строк и n столбцов. Существует единственный линейный оператор A, матрицей которого в заданном базисе является матрица A.

Доказательство.

Докажем сначала существование оператора A. Для этой ели определим значение Ae_k этого оператора на базисных векторах e_k с помощью соотношения Ae_k=Ʃⁿ_j=1α^j_ke_j, полагая в этом соотношении α^j_k равными соответствующим элементам заданной матрицы A. Значение оператора A на произвольном векторе xєA, разложение которого по базисным векторам e₁, e₂,…, e_n дается формулой x=Ʃⁿ_k=1x^ke_k, определим по формуле Ax=Ʃⁿ_k=1x^kAe_k. Очевидно, построенный оператор линейный и матрицей этого оператора является матрица A. Единственность оператора A, матрицей которого в базисе e₁, e₂,…, e_n является матрица A, следует из соотношения Ae_k=Ʃⁿ_j=1α^j_ke_j: с помощью этих соотношений единственным образом определяются значения оператора на базисных векторах. Теорема доказана.

20. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису.

Пусть V – линейное пространство, A - линейный оператор из L(V,V), e₁, e₂,…, e_n и e^’₁, e^’₂,…, e^’_n – два базиса в V и e^’_k=Ʃⁿ_i=1uⁱ_ke_i k=1, 2,…, n – формулы перехода от базиса {e_i} к базису {e^’_k}. Обозначим через U матрицу uⁱ_k: U=(uⁱ_k) – матрица перехода от старого базиса к новому. Отметим, что rangU=n.

Пусть A=(αⁱ_k) и A^’=(α^’i_k) – матрицы оператора A в указанных базисах. Найдем связь между этими матрицами.

Теорема. Матрицы A и A^’ оператора A в базисах {e_i} и {e^’_k} соответственно связаны соотношением A=U^-1A^’U, где U^-1 – обратная матрица для матрицы U, определенной равенством U=(uⁱ_k).

Доказательство.

Обращаясь к понятию матрицы линейного оператора, получим, согласно A=(αⁱ_k) и A^’=(α^’i_k)

Ae_k=Ʃⁿ_i=1αⁱ_ke_i, A^’e_k=Ʃⁿ_i=1α^’i_ke_i. Из определения линейного оператора и формул e^’_k=Ʃⁿ_i=1uⁱ_ke_i k=1, 2,…, n и из второй из формул A^’e_k= Ʃⁿ_i=1α^’i_ke_i следует соотношения

A^’e_k=A(Ʃⁿ_i=1u^’_ke_i), A^’e_k=Ʃⁿ_i=1 α^’i_kƩⁿ_j=1u^’_ke_j.

Поэтому справедливо равенство Ʃⁿ_i=1u^’_kAe_i=Ʃⁿ_j=1(Ʃⁿ_i=1α^’i_ku^’_k)e_j.

Подставляя в левую часть этого равенства выражение Ae_i по первой из формул Ae_k=Ʃⁿ_i=1αⁱ_ke_i, найдем Ʃⁿ_j=1(Ʃⁿ_i=1u^’_kαⁱ_k)e_j= Ʃⁿ_j=1(Ʃⁿ_i=1α^’i_ku^’_k)e_j. Так как {e_j} – базис, то из последнего соотношения вытекают равенства Ʃⁿ_i=1u^’_kαⁱ_k= Ʃⁿ_i=1α^’i_ku^’_k, j, k=1, 2,…, n.

Если обратиться к матрицам A, A^’ и U, то соотношения Ʃⁿ_i=1u^’_kαⁱ_k= Ʃⁿ_i=1α^’i_ku^’_k, j, k=1, 2,…, n эквивалентны следующему матричному виду UA=A^’U. Умножая обе части этого равенства слева на матрицу U^-1 получим требуемое соотношение A=U-1A'U. Теорема доказана.

Замечание. Обратимся к формуле A=U^-1A^'U. Умножая обе части этого матричного равенства слева на матрицу U и справа на U^-1, получим соотношение A^’=UAU^-1 представляющее собой другую форму связи между матрицами A и A^’ оператора A в разных базисах.

Следствие. detA=detA^’.

Доказательство.

В самом деле, так как определитель произведения матриц равен произведению определителей этих матриц, то из равенства A=U^-1A^’U следует, что detA=detU^-1detA^’detU. Поскольку detU^-1detU=I, то из соотношения detA=detU^-1detA^’detU получаем равенство detA=detA^’.

Таким образом, определитель матрицы линейного оператора не зависит от выбора базиса. Поэтому можно ввести понятия определителя detA линейного оператора A, полагая det A=deta, где a – матрица линейного оператора A в любом базисе.

21. Характеристический многочлен линейного оператора. Собственные значения и собственные векторы линейных операторов. Необходимое и достаточное условие диагональности матрицы линейного оператора. Теорема о линейной независимости собственных векторов.

Пусть A - линейный оператор, а I – тождественный оператор из L(V,V).

Определение. Многочлен относительно λ det(A-λI) называется характеристическим многочленом оператора A.

Согласно следствию detA=detA^’ характеристический многочлен имеет один и тот же вид в любом базисе.

Определение. Уравнение det(A-λI)=0 называется характеристическим уравнением оператора A.

Определение. Число λ называется собственным значением оператора A, если существует ненулевой вектор x такой, что Ax=λx. При этом вектор x называется собственным вектором оператора A, отвечающим собственному значению λ.

Теорема (без доказательства). Для того, чтобы число λ было собственным значением оператора A, необходимо и достаточно, чтобы это число было корнем характеристического уравнения оператора A.

Определение. Матрица называется диагональной, если все ее элементы, расположенные не на главной диагонали равны нулю.

Теорема. Для того, чтобы матрица A линейного оператора A в данном базисе {e_k} была диагональной, необходимо и достаточно, чтобы базисные вектора e_k были собственными векторами этого оператора.

Доказательство.

Пусть базисные вектора e_k являются собственными векторами оператора A. Тогда Ae_k=λ_ke_k и поэтому матрица A оператора A имеет вид

λ₁0…0

A= 0λ₂…0 (1)

00…λ_n

то есть является диагональной.

Пусть матрица A линейного оператора в данном базисе {e_k} диагональна, то есть имеет вид (1). Тогда соотношения Ae_k=Ʃⁿ_j=1α^j_ke_j примут вид Ae_k=λ_ke_k, а это означает, что e_k – собственные вектора оператора A. Теорема доказана.

Теорема. Пусть собственные значения λ₁,…, λ_p оператора различны. Тогда отвечающие им собственные вектора e₁,…, e_p линейно независимы.

Доказательство.

Применим индукцию. Так как e₁ – ненулевой вектор, то для одного вектора (p=1) утверждение справедливо (один ненулевой вектор является линейно независимым). Пусть утверждение теоремы доказано для m векторов e₁,…, e_m. Присоединим к этим векторам вектор e_m+1 и допустим, что имеет место Ʃ^m+1_k=1α_ke_k=0. Тогда, используя свойства линейного оператора, получим Ʃ^m+1_k=1α_kAe_k=0.

Так как e_k – собственные векторы, то Ae_k=λ_ke_k, и поэтому равенство Ʃ^m+1_k=1α_kAe_k=0 можно переписать следующим образом Ʃ^m+1_k=1α_kλ_ke_k=0.

Согласно Ʃ^m+1_k=1α_ke_k=0 Ʃ^m+1_k=1λ_m+1α_ke_k=0. Вычитая это равенство из Ʃ^m+1_k=1α_kλ_ke_k=0, найдем Ʃ^m+1_k=1(λ_k-λ_m+1)α_ke_k=0. По условию все λ_k различны, то есть λ_k-λ_m+1≠0. Поэтому из Ʃ^m+1_k=1(λ_k-λ_m+1)α_ke_k=0 и предположения о линейной независимости векторов e₁,…, e_m следует, что α₁=α₂=…=α_m=0.

Отсюда из Ʃ^m+1_k=1α_ke_k=0, а также из условия, что e_m+1 собственный вектор (e_m+1≠0), вытекает, что α_m+1=0. Таким образом, из равенства Ʃ^m+1_k=1α_ke_k=0 мы получаем α₁=α₂=…=α_m+1=0. Это означает, что векторы e₁,…e_m+1 линейно независимы. Индукция проведена, и доказательство теоремы завершено.

Следствие.

Если характеристический многочлен оператора A имеет n различных корней, то в некотором базисе матрица оператора A имеет диагональный вид.

Доказательство.

Действительно, в рассматриваемом случае, согласно только что доказанной теореме собственные вектора линейно независимы и поэтому могут быть выбраны в качестве базисных. Но тогда по теореме о необходимом и достаточном условии диагональной матрицы в этом базисе матрица оператора A будет диагональной.