17. Определение линейного оператора . Действие над линейными операторами. Пространство линейных операторов. Нулевой, противоположный и тождественный операторы.

Определение. Оператор A, действующий из V в W (A: V→W), называется линейным, если для любых элементов x₁ и x₂ пространства V и любого комплексного числа λ выполняются соотношения.

1. A(x₁+x₂)=Ax₁+Ax₂ (свойство аддитивности оператора)

2. A(λx)=λAx (свойство однородности оператора)

Если пространство W представляет собой комплексную плоскость, то линейный оператор A, действующий из V в W, называется линейной формой или линейным функционалом.

В множестве всех линейных операторов, действующий из V в W определим операции суммы таких операторов и умножение оператора на скаляр.

Определение. Пусть A и B два линейных оператора, действующих из V в W. Суммой этих операторов называют линейный оператор A+B, определяемый равенством (A+B)x=Ax+Bx.

Определение. Произведением линейного оператора A на скаляр λ называют линейный оператор λA, определяемый равенством (λA)x=λ(Ax).

Определение. Нулевым оператором называют оператор, обозначаемый символом O и отображающий все элементы пространства V в нулевой элемент пространства W. Иными словами, оператор O действует по правилу Ox=0.

Определение. Для каждого оператора A определим противоположный оператор –A посредством соотношения –A=(-1)A. Тогда A+(-A)=0.

Множество L(V,W) Всех линейных операторов, действующих из V в W, с указанными операциями суммы и умножения на скаляр и выбранными нулевым оператором и противоположным оператором образует линейное пространство.

Определение. Тождественным (или единичным) оператором называют линейный оператор I, действующий по правилу Ix=x.

18. Свойства множества линейных операторов l(V,V). Обратный оператор.

Если пространство W совпадает с пространством V, то линейный оператор, действующий в этом случае из V в V, называют также линейным преобразованием пространства V.

Введем понятие произведения линейных операторов из множества L(V,V).

Определение. Произведением операторов A и B из L(V,V) называется оператор AB, действующий по правилу (AB)x=A(Bx) (AB≠BA)

Свойства линейных операторов из L(V,V).

1. λ(AB)=(λA)B

2. (A+B)C=AC+BC

3. A(B+C)=AB+AC

4. (AB)C=A(BC)

Первое из свойств следует из определения произведения линейного оператора на скаляр ((λA)x=λ(Ax)) и определения произведения операторов ((AB)x=A(Bx)).

Второе свойство: имеем согласно (A+B)x=Ax+Bx, (λA)x=λ(Ax) и (AB)x=A(Bx)

((A+B)C)x=(A+B)(Cx)=A(Cx)+B(Cx)=(AC)x+(BC)x=(AC+BC)x. Сравнивая левую и правую части последних соотношений, получаем равенство (A+B)C=AC+BC.

Совершенно аналогично доказывается свойство 3.

Свойство 4 справедливо, поскольку, согласно определению (AB)x=A(Bx) произведение линейных операторов заключается в их последовательном действии, и поэтому линейные операторы (AB)C и A(BC) совпадают и, следовательно, тождественны.

Определение. Линейный оператор B из L(V,V) называется обратным для оператора A из L(V,V), если выполняется соотношение AB=BA=I (Обозначение A^-1).

Линейный оператор действует взаимно однозначно из V в V, если любым двум различным элементам x₁ и x₂ отвечают различные элементы y₁=Ax₁ и y₂=Ax₂. Если оператор A действует взаимно однозначно из V в V, то отображение A: V→V представляет собой отображение V на V, то есть каждый элемент yєV представляет собой образ некоторого элемента xєV.

Теорема. Для того чтобы линейный оператор A из L(V,V) имел обратный, необходимо и достаточно, чтобы этот оператор действует взаимно однозначно из V в V.

Доказательство.

Необходимость. Пусть оператор A имеет обратный, но не действует взаимно однозначно из V в V. Это означает, что некоторым различным элементам x₁ и x₂, x₁-x₂≠0 из V отвечает один и тот же элемент y=Ax₁=Ax₂. Но тогда A(x₁-x₂)=0, и поскольку A имеет обратный (x₁-x₂)=0. Но выше было отмечено, что x₁-x₂≠0. Полученное противоречие доказывает необходимость условия утверждения.

Достаточность. Допустим, что оператор A действует взаимно однозначно из V в V. Тогда каждому элементу yєV отвечает элемент xєV такой, что y=Ax. Поэтому имеется оператор A^-1, обладающий тем свойством, что A^-1y=A^-1(Ax)=x. Легко убедиться, что оператор A^-1 линейный. По определению A^-1 – обратный оператор для оператора A. Достаточность условия утверждения тоже доказана.

Определение. Ядром линейного оператора A называется множество всех тех элементов x пространства V, для которых Ax=0 (Обозначение ker A).

Условие ker A=0 является необходимым и достаточным для того, чтобы оператор A имел обратный.

Определение. Образом линейного оператора A называется множество всех элементов y пространства V, представимых в виде y=Ax (Обозначение im A).

Условие im A=V является необходимым и достаточным для того, чтобы оператор A имел обратный.