- •Определение линейного пространства. Примеры линейных пространств. Некоторые свойства их свойства.
- •Линейная зависимость и независимость элементов линейного пространства. Свойства.
- •Базис линейного пространства. Единственность разложения элемента линейного пространства по базису. Линейные операции над элементами, заданными в координатах.
- •Размерность линейного пространства. Две теоремы о связи размерности линейного пространства и базиса.
- •Изоморфизм линейного пространства. Теорема об изоморфизме линейных пространств одинаковой размерности.
- •Подпространство линейного пространства. Примеры. Линейная оболочка. Примеры. Размерность подпространства. Теорема о размерности линейной оболочки.
- •Сумма и пересечение подпространств. Теорема о сумме размерностей произвольных подпространств.
- •Разложение линейного пространства в прямую сумму подпространств. Определение и теорема.
- •Прямое и обратное преобразование базисов. Доказательство непрерывности матрицы перехода от одного базиса к другому. Преобразование координат при преобразовании базиса.
- •Вещественное евклидово пространство, примеры. Неравенство Коши-Буняковского.
- •Нормированное линейное пространство. Норма в евклидовом пространстве. Угол между элементами линейного пространства. Ортогональные элементы. Теорема Пифагора.
- •Ортонормированный базис в евклидовом пространстве. Теорема о существовании ортонормированного базиса. Процесс ортогонализации.
- •Скалярное произведение в ортонормированном базисе. Смысл координат произвольного элемента в этом базисе.
- •Разложение евклидова пространства на прямую сумму подпространства и его ортогонального дополнения.
- •Теорема об изоморфизме евклидовых пространств.
- •Комплексное евклидово пространство. Следствия из аксиом. Неравенство Коши-Буняковского. Норма. Скалярное произведение.
- •Определение линейного оператора . Действие над линейными операторами. Пространство линейных операторов. Нулевой, противоположный и тождественный операторы.
- •Свойства множества линейных операторов l(V,V). Обратный оператор.
- •Матрица линейного оператора. Теорема о соответствии каждой квадратной матрице линейного оператора.
- •Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису.
Базис линейного пространства. Единственность разложения элемента линейного пространства по базису. Линейные операции над элементами, заданными в координатах.
Определение. Совокупность линейно независимых элементов e1, e2,…, en пространства L называется базисом этого пространства, если для каждого элемента x пространства L найдутся вещественные числа x1, x2,…, xn такие, что справедливо равенство x=x1e1+x2e2+…+xnen. Это равенство называют разложением элемента x по базису e1, e2,…, en, а числа x1, x2,…, xn называют координатами элемента x (относительно базиса e1, e2,…, en).
Теорема. Каждый элемент x линейного пространства L может быть разложен по базису e1, e2,…, en единственным способом, то есть координаты каждого элемента x относительно базиса e1, e2,…, en определяются однозначно.
Доказательство.
Допустим, что для некоторого элемента x на ряду с разложением x=x1e1+x2e2+…+xnen справедливо еще и другое разложения по тому же самому базису x=x’1e1+x’2e2+…+x’nen. Почленное вычитание равенств приводит к соотношению (x1-x’1)e1+(x2-x’2)e2+…+(xn-x’n)en=0. В силу линейной независимости базисных элементов e1, e2,…, en, это соотношение приводит к равенствам x1-x’1=0, x2-x’2=0,…, xn-x’n=0 или x1=x’1, x2=x’2,…, xn=x’n. Теорема доказана.
Значение базиса заключается также и в том, что операции сложения элементов и умножения их на числа при задании базиса превращаются в соответствующие операции над числами-координатами этих элементов.
Примеры базиса (конкретных линейных пространств)
Любые три некомпланарных вектора образуют базис в линейном пространстве B3
Совокупность n элементов образуют базис в линейном пространстве An
Базис линейного пространства {x} состоит из одного элемента, в качестве которого можно взять любой ненулевой элемент этого пространства (то есть любое положительное вещественное число x0 не равное 1)
Теорема. При сложении двух элементов линейного пространства L их координаты (относительно любого базиса пространства L) складываются; при умножении произвольного элемента на любое число λ все координаты этого элемента умножаются на λ.
Доказательство.
Пусть e1, e2,…, en произвольный базис пространства L, x=x1e1+x2e2+…+xnen и y=y1e1+y2e2+…+ynen – любые два элемента этого пространства.
Тогда в силу аксиом 1-8 (x+y)=(x1+y1)e1+(x2+y2)e2+…+(xn+yn)en, λx=(λx1)e1+(λx2)e2+…+(λxn)en.
В силу единственности разложения по базису теорема доказана.
Операции над элементами сводятся к операциям над их координатами на основании свойств.
Элемент является нулевым элементом линейного пространства тогда и только тогда, когда все его координаты в любом базисе равны нулю.
Координаты суммы элементов в некотором базисе равны сумме соответствующих координат данных элементов в то же базисе.
Координаты произведения элемента на число равны произведению каждой координаты на это число (в одном и том же базисе).
Два элемента равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты в одном и том же базисе.
Элемент X является линейной комбинацией элементов x1, x2,…, xn тогда и только тогда, когда каждая координата элемента X является такой же линейной комбинацией соответствующих координат этих элементов в одном и том же базисе.