4. Прямое и обратное преобразование Лапласа, основные свойства, примеры преобразований.

Преобразование Лапласа:

1. Линейность

2. Теорема об дифф-ии:

3. Теорема об интегр-ии:

4. Т. о смещении изобр.:

3. Т. о запаздыв. ориг-ла:

4. Т. о свертыв. ориг-ла:

5. Т. о масштаб-нии:

П римеры преобразований:

5. Дифференциальная и операторная формы уравнений сау.

С АУ описыв-ся ДУ. Лин. системы (одноконтурные) м/б описаны одним ДУ, связ-щим изм-ие задающего возд-ия g(t) и рез-ты этого возд-ия x(t). В зав-ти от сложности системы ур-ие также м/б более или менее сложным. В общем виде:

в ыход вход

– M_m(p)

– D_n(p)

W(p)-передаточная ф-ция

6. Передат. Ф-ция динамич. Системы. Свойства передаточной функции.

– M_m(p)

– D_n(p)

W(p)–передаточная ф-ция

Осн. св-ва передат. ф-ции (ПФ):

1) ПФ явл. дробно-рацион. ф-цией от пар-ра p. (a_i и b_j – числа веществ. и постоянны для стацион. системы)

2) В реал. физич. сист-х, как правило, n≥m, т.е. порядок знам-ля выше, чем порядок числителя. Случай n<m возм-но только для отдел. элем-ов сист-мы.

3) ПФ имеет «нули». Это зн-ия p, обращающие в нуль числитель, т.е. это корни ур-ия M_m(p)=0 =>p₁, p₂,…, p_m

4) ПФ имеет «полюсы». Это зн-ия p, обращающие в нуль знамн-ль, т.е. корни ур-ия D_n(p)=0, D–полином. p₁, p₂,…, p_n

Нули и полюсы м/б как веществ., так и комплексными. Полюсы важнее для задач анализа и синтеза в ТАУ по 2 причинам:

1) они м/ означать резкое возрастание вых. пар-ра, а это есть неустойчивость САУ.

2) ур-ие м/ рассм. без прав. часть. В своб. дв-ии САУ (ДУ без прав. части) нули не имеют никакого значения.

Сложность ПФ, а именно макс. степень полинома, опред-ет сложность (порядок) САУ.

7. Частотные хар-ки сау и их взаимосвязь

Пусть есть передаточная ф-ия W(p), заменим в ней p на jw, где w – частота, j – мнимая единица. => W(jw)

соответствует амплитудно-фазово-частотной характеристике.

Справедливо для минимально-фазовых систем, это системы, которые среди прочих возможных имеют минимальную фазу.

P=Acosφ Q=Asinφ

Линейные САУ – частота не изменяется, а сигнал остается такой же гармонический

lg( L(w)=20lgA(w) - логарифмическая АЧХ

Годограф: количественный способ построения годографа:

Качественный способ построения годографа:

Если годограф уходи вниз, значит сигнал запаздывает.

Кол-во квадрантов, которые проходи годограф показывают сложность системы

8. Типовые входные воздействия и временные характеристики сау.

x(t)–опред-ся хар-кой системы и вх. сигналом

g(t)–типовые вх. сигналы:

1) единичная ступеньчатая ф-ция:

1(t)=g(t)=

2) импульсн. дельта-ф-ция =

g(t)= 1`^t (t) =

3) линейно возраст. ф-ция

4) равноускоренная

g(t)=k(t)+bt²

5) гармонич. сигнал:

6) g(t)=arctg(kt)

- меняется скорость изм-ия сигнала.

Хаар-ны для следящих систем (Пр. локационные)

Одна и та же САУ при разл. вх. сигналах имеет разл. вых. сигналы:

1) – переходня ф-ция

2) – весовая ф-ция

Гармонич. вх. сигнал имеет особую важность для анализа САУ по 2 причинам:

1) такой вх. сигнал однозначно обеспеч-ет гармонич. сигнал на выходе с идентичной частотой. Меняется только амплитуда и фаза

2) вх. сигнал любой формы представим в виде суммы гармонич. составляющих. Исп-зуя преобр-ие Фурье, мы получим гармонич. ряд, где состав-ие имеют кратную частоту.

При этом САУ отвечает принципу суперпозиции, т.е. вых сигнал от некот. суммы вх. сигналов в точности равен сумме вых. сигналов от каждой из вх. составляющих.