10. Производная

Определение 3.3.

Производной комплексной функции в точке называется предел отношения приращения функции приращению независимой переменной , когда , т.е.

. (3.10)

Как мы видим, определение производной комплексной функции по форме совпадает с определением производной действительной функции действительного переменного.

Имеет место также следующая теорема.

Теорема З.4.

Если комплексная функция моногенна в точке , то она имеет производную в этой точке и наоборот.

Доказательство.

1. Дано — моногенна в точке , т.е.

,

где при , а , если . Тогда . Ho , и мы имеем

2. Дано , т.е. имеем (3.10). Из (3.10) , где при , т.е. имеем

. (3.11)

Из (3.11) следует, что функция моногенна в точке . Теорема доказана.

Из сказанного выше следует, что если функция моногенна в точке , то для неё легко могут быть получены следующие правила дифференцирования, которые мы приводим без доказательства:

1. , если .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. Если , , то при условии, что .

11. Аналитические функции

Определение 3.4.

Комплексная функция называется аналитической в области , если она моногенна в каждой точке этой области.

Пример 1.

— аналитична во всей комплексной плоскости.

Определение 3.4.

Комплексная функция называется аналитической в точке , если она аналитическая в некоторой окрестности этой точки.

Аналитические функции образуют подмножество мно­жества всех комплексных функций. Они обладают целым рядом иимечательных свойств, имеют многочисленные приложения в различных вопросах математики и естествознания.

Теорема 3.5. (Достаточное условие аналитичности)

Пусть . Если в каждой точке области функции и имеют непрерывные частные производные и выполня­ются условия Коши-Римана, то функция аналитична в области .

Доказательство.

Из непрерывности , , , в любой точке области следует дифференцируемость функций и в . А тогда на основании теоремы 3.3. будем иметь, что функция моногенна в любой точке области , т.е. аналитична в области .

Как будет показано в дальнейшем, все элементарные комплексные функции аналитичны в своих областях определения.

12. Геометрический смысл модуля и аргумента производной

Пусть функция в точке аналитическая и . Рассмотрим гладкую кривую , проходящую через точку .

Пусть – образ кривой при отображении , a –образ точки (рис.3.1). На кривой возьмем произвольную точку , которая отобразится в точку кривой .

Согласно определению производной имеем

. (3.18)

Отсюда получим

,

где при . Таким образом

. (3.19)

Так как является бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с при , то равенство (3.19) запишется следующим образом

. (3.20)

Примем во внимание, что , из paвенства (3.20) получим:

. (3.21)

В равенстве (3.21) отбросим второе слагаемое в правой части. Будем иметь приближенное равенство:

откуда

(3.22)

В плоскости рассмотрим окружность . Тогда из (3.22) получим

,

т.е. окружность при наших условиях функция отображает с точностью до бесконечно малых более высокого порядка по сравнению с на окружность радиуса

.

Очевидно, круг отображается с точностью до малых более высокого порядка, чем , на круг

.

Величина (3.23)

называется коэффициентом линейного растяжения в точке при отображении .

Так как , (3.24)

то из (3.23) и (3.24) заключаем, что модуль производной в точке если , является коэффициентом линейного растяжения в этой точке при отображении .

Пример 1.

Пусть . Найти коэффициент линейного растяжения в точке , осуществляемого данной функцией при отображении.

Решение. Найдем производную функции , а затем .

Имеем .

Следовательно, коэффициент линейного растяжения в точке при отображении равен .

Выясним теперь геометрический смысл аргумента. Имеем

. (3.25)

Так как аргумент частного двух комплексных чисел равен разности их аргументов, то из (3.25) получим . (3.26)

, – это соответственно углы и , которые векторы и образуют с действительной осью на плоскости и соответственно.

, – это соответственно углы и , составляемые касательными к кривым и соответственно в точке и с действительной осью.

Таким образом, из (3.26) получаем , (3.27)

т.е. аргумент производной в точке показывает угол поворота касательной к кривой в точке при отображении .

Пример 2.

Пусть . Найти угол поворота линии в точке при отображении .

Решение. Имеем , , .

Таким образом, угол поворота равен .

Рассмотрим еще одну гладкую кривую проходящую через точку . Пусть образом кривой при отображении будет кривая , проходящая через точку . Угол между касательной к кривой в точке и действительной осью обозначим через , а угол меледу касательной к кривой , в точке и действительной осью – через .

Согласно геометрическому смыслу аргумента производной . (3.28)

Из равенств (3.27) и (3.28) следует .

Таким образом, доказали следующую теорему.

Теорема 3.8.

Если функция аналитическая в точке и , то это отображение сохраняет углы между кривыми, пересекающимися в точке .