17. Отображения, осуществляемые показательной функцией

Задача 1. Найти оброз горизонтальной прямой при отображении .

Решение.

Пусть – любая точка прямой , где (рис.4.9).

Тогда . Но , . Если изменяется от до , то изменяется от до .

остается неизменным. Если изменяется от до , a не изменяется, то точки «пробегает» прямую , а тогда образ точки при отображении «продвигается» по лучу , образующему угол с осью в плоскости , так как изменяется в этом случае от до , а остается неизменным.

И так, образом прямой , где при отображении является луч , образующий угол с осью на плоскости .

Задача решена.

Задача 2. Найти образ вертикальной прямой при отображении .

Решение. Пусть – любая точка прямой (рис.4.10), где . Образ этой точки – точка .

Если изменяется от до , то точка «пробегает» прямую снизу вверх, а образ этой точки при отображении точка будет описывать «бесконечное» число раз окружность .

З адача решена: образом прямой при отображении является окружность в плоскости .

Задача 3. Найти образ горизонтальной полосы шириной р при отображении .

Решение. Рассмотрим произвольную горизонтальную прямую : , ле­жащую в горизонтальной полосе, ограниченной прямыми , где и , где (рис.4.11).

О бразом прямой , как мы установили при решении задачи , является луч в плоскости , образующий угол у с осью . При изменении от до , прямая перемещается от прямой к прямой и «заметает» в плоскости горизонтальную полосу шириной .

О браз прямой – луч будет перемещаться при этом от луча к лучу ( изменяется от до ) и опишет на плоскости угол величиной .

З адача решена: образом горизонтальной полосы шириной при отображении является угол на плоскости с вершиной в начале координат величины .

Замечание. Если открытая горизонтальная полоса имеет ширину не больше , то, как мы отметили в свойствах функции , эта функция однолистна в данной полосе.

Кроме того, в каждой точке комплексной плоскости, а значит и в каждой точке полосы . Однолистность функции в рассматриваемой полосе и условие обеспечивает конформность отображения полосы шириной на угол величины с вершиной в начале координат.

18. Тригонометрические функции комплексного переменного

Тригонометрические функции и определяются следующими равенствами:

; (4.15)

. (4.16)

Это определение естественно, так как при действительном из определения показательной функции (формула (4.7)) имеем ; .

Установим некоторые свойства тригонометрических функций.

1. Тригонометрические функции и определены для всех , так как для всех определена показательная функция .

2. Известные тригонометрические тождества остаются справедливыми и для тригонометрических функций комплексного переменного.

Например,

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

Докажем, например, что .

Действительно, имеем

3. Функции , непрерывны во всей комплексной плоскости, так как непрерывна в каждой точке комплексной плоскости функция .

4. Функции и являются периодическими с периодом .

Действительно, имеем

;

.

Докажем, что у функций , периодов, отличных от , , не существует.

В самом деле, если – есть период функции , то .

При получаем . Отсюда следует, что ,

или .

Положим , тогда ,

.

Отсюда следует, что , , , ,

т.е. , и так как , то есть четное число и , ,

5. Функция – нечетная, a – четная, т.е. ; .

Эти равенства легко проверить, если воспользоваться формулами (4.15) и (4.16).

6. Функции и являются аналитическими во всей комплексной плоскости.

Проверим это, например, для функции . Выделим действительную и мнимую части функции :

.

Отсюда имеем, что ; . (4.17)

Легко проверить, что условия Коши-Римана ;

выполняются для всех . Так как функции и имеют непрерывные частные производные и условия Коши-Римана выполняются для всех , то функция является аналитической во всей комплексной плоскости.

По формуле – вычислим производную функции .

.

Аналогичным образом доказывается, что .

7. Некоторые свойства тригонометрических функций не сохраняются при переходе от действительного аргумента к комплексному. Может оказаться, что или .

В самом деле

,

при стремится к и, следовательно, принимает сколь угодно большое значение. Другими словами функции и неограничены во всей комплексной плоскости.

8. Уравнения и имеют решения только при , т.е. только на действительной оси. Следовательно, , если , , а , если , ,.

В самом деле, пусть . (4.18)

Тогда из (4.17) следует, что , т.е.

.

Отсюда имеем .

Из первого уравнения системы следует, что , так как для любого . Из второго уравнения системы получим, что , так как при . Но тогда и только тогда, когда .

Таким образом, , .

Функции и определяются формулами: ; .

Так как при , , то в этих точках функция не определена. Аналогичным образом функция определена всюду на комплексной плоскости, кроме точек , .