32. Степенные комплексные ряды

Степенным комплексным рядом называется функциональный комплексный ряд следующего вида

(6.40)

Здесь - заданные комплексные числа, - любое комплексное число. Как мы видим, степенной ряд (6.40) составлен из следующих функций:

которые все являются аналитическими во всей комплексной плоскости, а значит, и непрерывными там.

Множество точек комплексной плоскости, в которых степенной ряд сходится, называется его областью сходимости.

Пример 1.

Степенной ряд

(6.41)

в котором

как мы знаем, сходится в открытом круге и расходится для точек , таких, что . Значит, областью сходимости этого степенного ряда является открытый круг .

Одной из основных в теории степенных рядов является следующая теорема.

Теорема 6.7 (Абеля).

Если степенной ряд сходится в некоторой точке то он абсолютно сходится и в любой точке , удовлетворяющей условию

т.е. абсолютно сходится в круге радиуса с центром в точке (рис. 6.4).

Доказательство.

Пусть - произвольная точка из. указанного круга. Тогда

Так как в точке степенной ряд сходится, то на основании необходимого признака сходимости любого ряда будем иметь при Следовательно, существует такая константа , что

при

Отсюда для коэффициентов данного степенного ряда получим оценки

при

Тогда

Но ряд

где сходится, так как сходится ряд представляющий сумму членов бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем меньшим единицы. Тогда по признаку сравнения для положительных рядов из сходимости положительного ряда (6.43) на основании неравенства (6.42) втекает сходимость ряда

в рассматриваемом круге радиуса .

Сходимость последнего ряда означает абсолютную сходимость ряда в указанном круге. Теорема доказана.

Следствие.

Если степенной ряд расходится в некоторой точке то он расходится и во всех точках , удовлетворяющих неравенству

Предполагая противное, получим, что по теореме Абеля ряд должен сходится в любом круге радиуса в частности, и в точке что противоречит условию.

Определение 6.7.

Областью сходимости степенного ряда называется множество точек плоскости, в которых ряд сходится.

Теорема Абеля дает возможность выяснить структуру области сходимости произвольного степенного ряда. Существуют степенные ряды, которые сходятся в единственной точке .

Назовем такие ряды рядами 1-го типа.

Примером такого ряда является ряд

здесь при имеем числовой ряд

который сходится и сумма его равна 1.

Пусть теперь Тогда общий член ряда

при ,

так как, начиная с некоторого достаточно большого , будем иметь и, следовательно, Итак, рассматриваемый ряд расходится при любом

Существуют степенные ряды, сходящиеся во всякой точке плоскости. Такие ряды называются рядами 2-го типа. На основании теоремы Абеля такие ряды должны абсолютно сходится во всякой точке комплексной плоскости (Почему?). Примером ряда 2-го типа является следующий ряд

Для любого имеем

как только такое, что

Но числовой ряд

сходится, а тогда на основании (6.44) по признаку сравнения для положительных рядов следует абсолютная сходимость рассматриваемого ряда.

К третьему типу отнесем степенные ряды, которые не принадлежат ни первому, ни второму типу. Ряды третьего типа имеют точки, отличные от , в которых они сходятся, и есть точки, в которых они расходятся. Исследуем область сходимости рядов 3-го типа.

Проведем из точки луч (рис. 6.5). На этом луче найдется точка в которой ряд сходится и найдется точка , в которой ряд расходится. Отрезок проведенного луча обозначим через . Разделим этот отрезок пополам и обозначим через ту половину отрезка левый конец которой является точкой сходимости, а правый конец - точкой расходимости ряда. Отрезок опять делим пополам и выбираем ту половину отрезка , левый конец которой является точкой сходимости, а правый - точкой расходимости ряда. Эту половину обозначим через результате, продолжая это процесс неограниченно, получим стягивающуюся последовательность отрезков , вложенных друг в друга.

По теореме о стягивающейся последовательности отрезков существует единственная точка , принадлежащая всем отрезкам

Положим и рассмотрим окружность Докажем, что рассматриваемый ряд абсолютно сходится во всякой точке , лежащей внутри этой окружности, и расходится в каждой точке , лежащей вне окружности

Пусть - произвольная точка, лежащая внутри окружности

На рассмотренном луче изберем , являющуюся левым концом отрезка Предполагаем при этом настолько большим, что

Так как, по построению последовательности , в точке рассматриваемый ряд сходится, то, согласно теореме Абеля, ряд будет абсолютно сходящимся и в точке .

Так как, - любая точка, лежащая внутри окружности , то заключаем, что рассматриваемый ряд сходится, и притом абсолютно, в круге

Пусть - любая точка, лежащая вне окружности . На луче выберем точку , являющуюся правым концом отрезка При этом предполагаем настолько большим, что Так как, согласно построению последовательности в точке ряд расходится, то, по следствию из теоремы Абеля, он расходится и в точке . Так как - любая точка, лежащая вне окружности , то рассматриваемый ряд будет расходиться в области

Таким образом, степенной ряд абсолютно сходится при всяком , для которого и расходится при всяком , для которого

Найденный круг с центром называется кругом сходимости, а его радиус - радиусом сходимости степенного ряда. Для рядов 1-го типа условились считать, что , для степенных рядов 2-го типа - Как мы покажем ниже в точках окружности круга сходимости степенные ряды могут сходиться, но могут и расходиться.

Из приведенных рассуждений вытекает теорема

Теорема 6.8.

Для всякого степенного ряда

существует круг с центром в точке конечного или бесконечного радиуса, называемый кругом сходимости этого ряда, внутри которого ряд абсолютно сходится, а вне его расходится.

Замечание 1.

Из теоремы и замечания о том, что в точках окружности круга сходимости степенной ряд может сходиться и может расходиться, следует, что область сходимости степенного ряда состоит, очевидно, из круга сходимости и, возможно, еще из всего или некоторого множества точек окружности этого круга.

Замечание 2.

Также как и в случае действительных степенных рядов, используя признаки Коши и Даламбера, получим формулы для вычисления радиуса сходимости степенного ряда

Например, если существует предел

то по признаку Даламбера, ряд абсолютно сходится при и расходится при , т.е.

(6.45)

Аналогичное рассуждение и использование признака Коши дает формулу

(6.46)

если, конечно, существует предел рассматриваемый в формуле (6.46).

Пример 2.

Найти радиус и круг сходимости степенного ряда

(6.47)

круг сходимости

Пример 3.

Ряд на окружности круга сходимости расходится, так как если и, следовательно, общий член ряда не стремится к нулю при

Пример 4.

Степенной ряд в точке окружности круга ходимости сходится как знакочередующийся

а в точке расходится, так как имеем вид

и отличается от расходящегося гармонического ряда

только лишним первым членом.

Пример 5.

Рассмотрим теперь ряд

(6.48)

Как и в случае ряда (6.47) показываем, что радиус сходимости ряда S.48) . Однако во всех точках окружности круга сходимости ряд (6.48) абсолютно сходится, а значит просто сходится. В самом еле составим ряд из модулей членов ряда (6.48)

(6.49)

Перепишем ряд (6.49) в виде

(6.50)

Но и ряд (6.51) примет вид

(6.51)

а последний ряд, как мы знаем из теории числовых рядов, сходится, а начит ряд (6.47) абсолютно сходится, а значит и просто сходится, что мы и утверждали.