3. Тригонометрическая и показательная форма комплексного числа
Пусть
,
а
,
тогда из рис. 1.3 легко видеть, что
,
,
если
,
так
как
являются
декартовыми
прямоугольными координатами точки
,
,
,
полярными
координатами этой точки, при условии,
конечно, что полярная ось направлена
вдоль положительного направления оси
абсцисс,
а полюс полярной системы координат
совпадает с началом
декартовой системы координат. Теперь
мы видим, что всякое комплексное число
можно
представить в виде
. (1.2)
Запись комплексного числа в виде (1.2) называется тригонометрической формой комплексного числа.
Очевидно,
что два комплексных числа равны тогда
и только тогда,
когда равны их модули, а аргументы
отличаются на числа кратные
.
Пример 1.
Найти
и
представить комплексное число
в
тригонометрической
форме.
Решение.
И
зобразим
число
на плоскости (рис.
1.4).
Очевидно,
угол
является одним из значений
и при этом
,
т.е.
является главным значением аргумента
комплексного числа
.
;
.
.
Теперь число можно представить в тригонометрической форме
.
Комплексное
число
обозначается символом
т.е.
. (1.3)
Как
легко заметить, что формула (1.3) дает
возможность определить
комплексную функцию
действительного
переменного
.
В частности,
,
,
,
.
Полагая
в форме (1.3) вместо
,
получим
. (1.4)
Сложением и вычитанием (1.3) и (1.4) получим:
; (1.5)
. (1.6)
Формулы (1.3)–(1.6) называются формулами Эйлера.
Отметим некоторые свойства функции :
; (1.8)
; (1.8)
,
. (1.9)
Докажем равенство (1.7).
Имеем
.
Аналогично проверяется (1.8). Равенство (1.9) получается из равенств (1.7) и (1.8) по индукции.
Из (1.9) и (1.3) вытекает формула Муавра
,
.
Из
формул (1.2) и (1.3) следует, что любое
комплексное число
можно
представить в виде
, (1.10)
где , .
Запись комплексного числа в виде (1.10) называется показательной формой комплексного числа.
С помощью равенств (1.7) и (1.8) легко получаются формулы умножения и деления комплексных чисел, записанных в показательной форме:
; (1.11)
. (1.12)
Из формулы (1.11) следует, что модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению модулей этих чисел
,
а
сумма аргументов сомножителей является
аргументом произведения:
если
,
,
то
. (1.13)
Аналогично из формулы (1.12) вытекает, что модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей этих чисел
,
,
а разность аргументов делимого и делителя является аргументом, частного: если , , то
. (1.14)
Пример 2.
.