27. Бесконечная дифференцируемость аналитической функции
Теорема 5.6.
Если функция аналитична в односвязной или многосвязной области и на ее границе , то в каждой точке этой области существует производная любого порядка, вычисляемая по формуле
Доказательство.
Пусть . В этом случае ясно, что в силу аналитичности функции в области в каждой точке области производная существует, и нам остается доказать, что для этой производной имеет место формула
Возьмем
произвольную точку
.
По формуле Коши
будем иметь:
Составим отношение
Переходя
к пределу под знаком интеграла при
получим
что и требовалось доказать. (Нами не обоснован предельный переход под знаком интеграла. Его обоснование можно найти в книге ).
Аналогичным
приемом доказывается существование
и
формула
Методом математической индукции доказывается существование производной любого порядка и формула
Теорема доказана.
Теорема 5.7, (Mopepa).
Если функция непрерывна в односвязной области и интеграл от по любой спрямляемой замкнутой кривой, лежащей в , равен нулю, то аналитична в .
Доказательство.
По
теореме 5.2. функция
аналитична в
и
Но функция, аналитическая в
,
бесконечное число раз дифференцируема
в
,
т.е., например, в
а
это означает аналитичность функции
в
области
.
Теорема доказана.
28. Теорема Лиувилля. Основная теорема алгебры
Как хорошо известно, методы ТАФ широко используются в других разделах математики. В частности, например, при доказательстве основной теоремы алгебры.
При доказательстве основной теоремы алгебры нам потребуется теорема Лиувилля.
Теорема 5.8. (Лиувилля).
Если
функция
- аналитична и ограничена во всей
комплексной плоскости
,
то она представляет собой постоянную,
т.е.
для
Доказательство.
Пусть
- произвольная точка плоскости
,
а
окружность радиуса
с центром
.
По известной интегральной формуле для производных имеем
Так
как
что
для
то
и тогда
(См. 7 свойств интеграла, где I = 2nR, § 5.1).
Так
как
- любое положительное число, то
а значит и
для
а следовательно
,
так как
Теорема доказана.
Теорема 5.9. (Основная теорема алгебры)
Всякий
многочлен
над полем комплексных чисел
(
)
имеет по крайней мере один корень.
Доказательство.
Проведем
доказательство от противного. Пусть
многочлен
не имеет корней. Тогда функция
является во всей комплексной плоскости
аналитической. Но
так
как
что значит, для
что для
В
замкнутом круге
функция
- непрерывна как функция аналитическая
в этом круге.
Из
непрерывности в замкнутом круге следует
ограниченность функции
в этом круге.
что
для
из
данного круга
.
Полагая
,
получим
для
.
А
тогда в силу теоремы Лиувилля имеем
что противоречит определению функции
.
Итак, многочлен
имеет по крайней мере один корень.
Теорема доказана.
Замечание.
Как утверждается в книге В.Монтуров и др. "Толковый словарь математических терминов". Москва, 1985 г.: "Основная теорема алгебры называется так потому, что основное содержание алгебры в XVII-XVII вв. сводилось к решению уравнений. Основная теорема алгебры была доказана впервые в XVII веке французским математиком Жиро-ром, строгое же доказательство было дано в 1799 г. немецким математиком Гауссом".