Интегрирование проводится по замкнутой кривой в направлении (положительном), при котором конечная область , ограниченная кривой , остается слева. (Иногда такое направление интегрирования по кривой называют интегрированием по кривой "против часовой стрелки") (рис.5.4). Обозначают в этом случае интеграл одним из следующих символов
Если интегрирование по замкнутой кривой проводится в направлении противоположном рассматриваемому ("по часовой стрелке") , то для обозначения интеграла употребляют символы.
Последнее направление интегрирования называют также отрицательным.
Вычисление интеграла от комплексной функции.
Заменим в
интегральной сумме
получим:
Переходя в этом уравнении к пределу при
одновременно, это означает, что все
а
это в свою очередь означает, что
и
)
получим
или в другой
записи
формула для вычисления интеграла от комплексной функции с помощью криволинейных интегралов от действительных функций двух действительных переменных.
Замечание 2.
Если кривая представляет замкнутую кривую и интегрирование проводится в положительном направлении, то последняя формула примет вид
Замечание3.
Если
кривая
гладкая и задана в параметрическом виде
точка
имеет координаты
точка
—
то
легко проверить, что из последних формул
получим
где
В случае
замкнутой кривой
соответствует началу обхода этой кривой,
- концу обхода).
Пример 3.
Вычислить интеграл
Из точки
проводим прямую
параллельную оси
Тогда угол между лучом
и вектором
является аргументом комплексного числа
(рис.
5.5).
Теперь число
можно представить в показательной
форме
При изменении
от
0 по
точка
опишет окружность
.
Следовательно,
является комплексным уравнением
окружности
.
Для вычисления интеграла
используем формулу
где уравнение
является комплексным уравнением кривой
интегрирования
,
—
соответствует началу кривой интегрирования,
—
концу кривой интегрирования.
В случае нашего примера
Итак,
Свойства комплексного интеграла:
1.
Доказательство:
Интегральная
сумма
в этом случае имеет вид:
Следующие
свойства 2-6 вытекают из формулы
и соответствующих свойств интегралов от действительных функций двух действительных переменных
2.
3.
4.
5.
если
(рис. 5.6).
6. Если комплексная функция непрерывна на кривой , то она интегрируемы по этой кривой.
7. Если на
кривой
имеем
то
где — длина кривой интегрирования .
Доказательство.
(рис. 5.7).
Но
—
длина
-
го звена ломаной
вписанной в кривую
,
—
длина ломаной
которая
меньше длины
кривой
,
т.е.
и, следовательно
Переходя
в этом неравенстве к пределу и учитывая,
что
получим доказываемое утверждение.
23. Теорема Коши для односвязной области
Для формулировки и доказательства теоремы Коши приведем некоторые определения.
Определение 5.5.
Область
называется
односвязной, если внутренность любой
замкнутой кривой
,
принадлежащей области
, состоит только из точек данной области.
Определение 5.6.
Комплексная функция
называется аналитической в области
и на ее границе
,
если эта функция аналитична в некоторой
области
,
содержащей область
вместе с ее границей
.
Теорема 5.1.
Если
функция
аналитична в односвязной области
,
то интеграл по любой спрямляемой
замкнутой кривой
,
принадлежащей области
,
равен нулю, т.е.
(рис. 5.8).
Доказательство .
Доказательство теоремы приведем для
случая, когда кривая
пересекается прямыми параллельными
координатным осям не более чем в двух
точках, точках,
а частные производные
функции
непрерывны в области
.
Для доказательства теоремы нам потребуется формула Грина:
где - область, ограниченная кривой .
Применим формулу Грина к действительной
и мнимой частям правой части формулы
учитывая, что для аналитической функции
в области
выполняются условия Коши-Римана
Имеем по формуле Грина
так как в области
в силу условий Коши-Римана
Аналогично докажем, что
а, значит
Что и требовалось доказать.
Следствие 1.
Если комплексная функция
аналитична в односвязной области
и на ее границе
,
то
В самом деле, если функция аналитична в области и на ее границе , то это означает, что существует область , содержащая область вместе с границей , и при этом в области функция аналитична, а тогда по теореме 5.1. имеем утверждение следствия 1.
Следствие 2.
Если функция
аналитична в односвязной области
,
то интеграл от этой функции не зависит
от пути интегрирования, т.е., если
и
- любые две точки области
, a
и
-
две любые спрямляемые кривые,
соединяющие эти точки (рис. 5.9), то
В самом деле по теореме Коши имеем
Используя свойства интегралов, имеем
т.е.
что и требовалось доказать.