5. Действительная и мнимая части комплексной функции

Комплексная функция каждому ставит в соответствие единственное комплексное число

.

( и здесь и дальше область определения, множество значений функций соответственно), другими словами каждой паре действительных чисел ставится в соответствие пара действительных чисел . Очевидно последнее соответствие можно представить как две действительные функции двух действительных переменных , так как каждой паре ставится в соответствие действительное число и действительное число v.

Как известно из теории действительных функций многих действительных переменных такие функции называются действительными функциями двух действительных переменных:

; .

Теперь комплексную функцию , учитывая, что , , можно представить в виде

или .

Действительную функцию называют действительной частью комплексной функции , а функцию — мнимой частью функции и обозначают:

, .

В дальнейшем вместо

и будем употреблять также запись :

и .

Пример 1.

Найти действительную и мнимые части комплексной функции .

Решение. ; ;

; ;

— действительная часть функции , — мнимая часть этой функции.

Замечание.

Если заданы две действительные функции двух действительных переменных , на некотором множестве , то функция будет комплексной функцией комплексного переменного .

Пример 2.

; .

— любая точка координатной плоскости.

Функция — комплексная функция комплексного переменного , заданная во всей комплексной плоскости. (Здесь и дальше фраза: "функция задана на множестве " означает, что множество или совпадает с областью определения функции или принадлежит этой области).

6. Метризация комплексной плоскости. Последовательности комплексных чисел и их пределы

Введем на множестве комплексных чисел (комплексной плоскости) расстояние между любыми двумя комплексными числами , (точками комплексной плоскости , ) по формуле

.

(Символ означает расстояние между , ).

Легко проверить, используя свойства модуля, что так определенное "расстояние" удовлетворяет всем аксиомам расстояния:

1. ; 2. ;

3.

(Эти аксиомы можно получить из геометрических соображений, если помнить, что модуль разности 2-х комплексных чисел равен расстоянию между точками, изображающими эти числа).

Введя понятие расстояния на множестве комплексных чисел мы это множество метризовали, а в любом метрическом пространстве можно строить теорию пределов для последовательностей элементов этого пространства.

Так как понятие расстояния на множестве комплексных чисел вводится также как и на множестве действительных чисел, и именно как модуль разности двух чисел, то с формальной сто­роны определения, теоремы и их доказательства в случае ком­плексных чисел выглядят также как и в случае действительных чисел.

Определение 2.2.

Комплексное число называется пределом последовательности комплексных чисел , , , , , если для , , что для .

Обозначение .

Формулировку теорем и их доказательство для комплекс­ных последовательностей приводить не будем, но результатами известными из теории последовательностей действительных чи­сел пользоваться будем (теоремы о пределе суммы, произведения, о единственности предела и т.д.).

Сформулируем и докажем полезную для дальнейшего теорему.

Теорема 2.1.

Если последовательность комплексных чисел , сходится к комплексному числу , то сходятся действительные последовательности , , , и наоборот.

Доказательство.

1. для

, ,

.

Но и

;

Первая часть теоремы доказана.

2. Дано: ,

Значит, для любого , что для и , что .

Ho , если , т.е. . Что и требовалось доказать.

Справедлив также критерий Коши: для того чтобы последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной, т.е. для любого , должен существовать такой номер , что при , выполняется неравенство . С доказательством критерия Коши можно познакомиться в [1].

Из теоремы 2.1. следует, что сходящаяся последовательность ограничена, т.е. существует такое число , что для любого . Действительно, пусть последовательность сходится. Согласно теореме 2.1. действительные последовательности и также сходятся, а, следовательно, они ограничены, т.е. при любых имеют место неравенства , , где — некоторое неотрицательное число.

Тогда из неравенства следует, что , при любом , что и означает ограниченность последовательности . Простейший пример показывает, что ограниченная последовательность не всегда сходится. Но справедлива следующая теорема.

Теорема 2.2. (теорема Болъцано-Вейерштрасса).

Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство.

Пусть последовательность ограничена, т.е. для любого имеет место неравенство , где — некоторое неотрицательное число. Тогда из неравенств

;

следует, что ; для любого что означает ограниченность действительных последовательностей и . Для ограниченных действительных последовательностей , теорема Больцано-Вейерштрасса верна. Следовательно,из них можно выделить сходящиеся подпоследовательности, соответственно

, , , .

Согласно теореме 2.1., , т.е. подпоследовательность .

Теорема доказана.

Теорема 2.3.

Если , то последовательность сходится к пределу и существует последовательность из значений :

, , , , ,

сходящаяся к одному из значений аргумента предела . (Здесь и в дальнейшем символ означает одно из значений аргумента числа ).

Доказательство.

П усть существует . Тогда для .

Но .

Этот факт геометрически очевиден, если числа и изобразить на плоскости (рис. 2.3). Значит для так как . Следовательно .

Остальные утверждения теоремы принимаем без доказательства. Их доказательство смотри в [2].