19. Гиперболические функции комплексного переменного

Гиперболические функции определяются следующими соотношениями:

; (4.19)

Сравнивая определение тригонометрических функций и гиперболических функций, получим: ; ;

; . (4.20)

Следовательно, если аргумент синуса имеет множитель , то его можно внести за знак функций, причем синус тригонометрический следует заменить синусом гиперболическим и наоборот.

Если аргумент косинуса имеет множитель , то его можно опустить, заменив тригонометрический косинус гиперболическим и наоборот.

Используя формулы (4.20), можем получить ряд тождеств для гиперболических функций.

1. Известно, что . Пусть . Тогда . Воспользовавшись формулами (4.20), получим , т.е. .

2.

.

Аналогичным образом указывается, что .

20. Логарифмическая функция комплексного переменного

Определение 4.4. Соответствие, обратное показательной функции называется многозначной логарифмической функцией.

Разрешив уравнение (4.21)

относительно , получим формулу для определения значений многозначной логарифмической функции: представим в показательной форме , где – одно из значений , например, – главное значение аргумента , и представив в виде получим равенство . Отсюда получим

, , , , ,

так как два комплексных выражения равны между собой тогда и только тогда, когда равны модули этих выражений, а аргументы отличаются на число, кратное . Итак имеем

или –

– соответствие, обратное показательной функции . Это соответствие обозначаем символом . Итак, по определению

, , (4.22)

Полагая в формуле (4.22) , получим ряд однозначных функций:

;

;

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

Эти функции называются однозначными ветвями многозначной логарифмической функции .

Для однозначной ветви вводят специальный символ , т.е. полагают или что тоже самое .

Эту ветвь называют главной ветвью логарифмической многозначной функции.

Каждая ветвь логарифмической функции является функцией обратной для сужения показательной функции на некоторую горизонтальную полосу шириной 271.

Например, – функция обратная для сужения функции на полосу . В самом деле, функция однолистна в указанной полосе, а следовательно существует для этой функции в указанной полосе обратная однозначная функция. Формулу для определения значений этой функции получим, если разрешим относительно уравнение: при условии .

Решения этого уравнения получены, все они содержатся в формуле

, , . (4.23)

Условию удовлетворяет функция ,

получаемая из формулы (4.23) при так как здесь , .

Итак, – функция обратная для сужения функции на полосу .

Функция аналитична при , как функция обратная для аналитической функции , а ее производная

Другие однозначные ветви логарифмической функции от­личаются от главной ветви на постоянные вида а следовательно их производные совпадают с производной функции .

Этот факт условно записывают так

Точка — особая точка для логарифмической мно­гозначной функции. Эту точку называют точкой ветвления многозначной функции .

Значения многозначной логарифмической функции при

называются логарифмами комплексного числа и, как мы по­казали, решая уравнение (смотри свойства показательной функции), эти логарифмы определены для любого комплексного числа и вычисляются при помощи формулы

Свойства логарифмов комплексных чисел.

1. . В самом деле,

2. Аналогичным образом доказывается, что

3. Имеет место следующее соотношение

Действительно

.

Здесь — произвольные, не зависящие друг от друга, целые числа, и их сумма - произвольное целое число .

Обратим внимание на следующие три случая.

1) Пусть — положительное действительное число. Тогда

В этом случае имеет бесконечное множество значений, однако лишь одно из них является действительным. Это , т.е. то значение логарифма, которое известно из элементарной ал­гебры.

2) Пусть — отрицательное действительное число. Тогда имеем

В этом случае среди бесконечного множества значений нет ни одного действительного.

3. Пусть Тогда

В этом случае все значения логарифма являются чисто мнимыми.