40. Нормальные колебания линейной 2-х атомной цепочки.
Вывод уравнения закона дисперсии для двухатомной цепочки.
Представим себе 2-х атомный одномерный кристалл на рисунке:
О
н
отличается от рассмотренного нами ранее
кристалла только тем, что в нем чередуются
атомы с массами M
и m
(M>m).
Если теперь в кристалле возбудить продольное колебание, распространяющееся вдоль цепочки атомов 2-х сортов. Амплитуды имеют различное значение.
Запишем уравнение волн:
И в этом случае предположим, что возвращающая сила обусловлена только взаимодействием ближайших соседей и смещение атомов не выходит за пределы упругой области, в которой применим закон Гука.
Тогда
уравнение Ньютона для смещения
можно записать в виде:
Подставляя (1) в (2) получаем следующую пару уравнений
41. Анализ закона дисперсии для двухатомной цепочки.
Д
ля
линейной одноатомной цепочки, которую
мы рассматривали выше говорили, что
существует одно решение для к>0 и одно
решение для к<0. В случае двухатомной
цепочки даже для к>0 существует два
решения для
,
т. е. спектр частот
является двухзначной функцией к
и имеет вид:
.
42. Акустическая и оптическая ветви двухатомной цепочки.
Акустическая ветвь
Нижняя
ветвь спектра на этом рисунке описывается
функцией
со знаком «-» в этой формуле.
Обычно наз. акустической ветвью. Она соответствует спектру, которой уже был получен нами для одноатомной цепочки за исключением 2-х следующих особенностей.
1)В
цепочке, состоящей из атомов 2-х сортов,
абсолютная величина волнового вектора
к
не превышает
.
Для одноатомной цепочки граница зоны
Бриллюэна лежала в точке
.
Следовательно, в 2-х атомной цепочке
размеры зоны Бриллюэна определяются
периодом 2а,
а не расстоянием между ближайшими
соседями а.
2) Из выражения (5) следует, что максимально возможная частота акустических колебаний
Как видно эта частота не зависит от массы более легких атомов цепочки. Чтобы понять эту особенность рассмотрим зависимость отношения амплитуд колебаний атомов 2-х сортов от частоты (рассмотрим область высоких частот и малых длин волн):
Т.о. отношение амплитуд длин волн почти = 1. Это означает, что все атомы в случае длинных волн двигаются одинаково.
Какие частоты соответствуют этому случаю?
Для этого найдем из(4) полагая, что ka<<1, тогда:
Пренебрегая
членами
и
из-за их малости получим:
Если
в выражении (8) величину
заменить некоторой средней массой, то
перейдем к формуле, которая была в случае
одноатомной решетки.
При
увеличении к
и
в акустической ветви возрастает правая
часть равенства (7). В предельном случае,
когда волновой вектор
и когда угловая частота
,
фазовая и групповая скорости будут
равны:
Тогда
.
Получили неопределенность, поэтому мы ничего сказать не можем.
Следовательно,
А=0
при любом В,
т.е. легкие атомы не колеблются при таких
больших частотах. Значит
.
,
т.е. эти волны на границе зоны Бриллюэна
отражаются и образуются стоячие волны.
Оптическая ветвь
Выражение для оптической ветви двухатомной цепочки получается когда
решаем со знаком «+».
Рассмотрим
частицу в области длинных волн при
.
(10)
(11)
Это говорит о том, что:
1) амплитуды колебаний обратно пропорциональны их массам;
2) «-» в (11) говорит о том, что атомы колеблются в противофазе.
Рассмотрим,
что происходит с к
при увеличении
(при увеличении к
[0;
])
Следовательно, здесь колеблются только малые атомы.
Следовательно,
при оптических колебаниях с наиболее
коротких из возможных длин волн тяжелые
атомы не колеблются, а в колебаниях
участвуют только легкие атомы. И в этом
случае
,
следовательно, волны соответствующие
частотам
,
как и
,
являются стоячими, т.е. испытывают
Брэгговское отражение от границы зоны
Бриллюэна.
Пример вещества с разными массами – NaCl.
В электрическом поле электромагнитной волны совершаются колебания
f
= e*E
Следовательно, на атомы действует колебательная сила.
