38. Колебательные моды линейной одноатомной цепочки.

Закон дисперсии. Вывод уравнения дисперсии.

О дноатомной решетка – кристалл, кот. состоит из атомов одного сорта. В целях упрощения рассмотрим линейную одноатомную цепь. Для простоты рассмотрим распределение упругой продольной волны вдоль линейной цепи, состоящей из одинаковых атомов. Через V обозначим смещение атома от положения равновесия в некоторый момент времени. Запишем уравнение плоской волны:

(1)

А - амплитуда колебаний частиц участвующих в волновом процессе;

- волновой вектор ( ); - угловая (циклическая) частота.

Атомы, имеющие массу m, расположены на расстоянии, а друг от друга. Для этой последовательности смещение атомов V, создаваемое волной, имеет смысл только в точках расположения атомов и не имеет смысла в промежуточных точках. Поэтому, смещение r-го атома записывается

Если мы продифференцируем по времени 2 раза, то получим ускорение r-го атома: (3)

Т огда, исходя из 2-го закона Ньютона, мы можем записывать выражение для возвращающей силы (упругой силы):

Наша задача: мы должны найти закон дисперсии.

Дисперсия - разложение света по спектрам. Почему разлагается спектр?

Т. к. Белый свет не монохроматичный.

.

Для получения закона дисперсии, т.е. зависимости от к, надо выразить возвращающую силу через силовую постоянную, характеризующую смещение атомов в кристаллической решетки. В этих целях линейную цепочку атомов представим в виде связанных упругими пружинами:

В этой модели возникающая при растяжение и сжатие пружин возвращающая сила, действующая на атом линейно, зависит от расстояния до ближайших атомов. Действительно в большинстве твердых тел в случае малых деформаций выполняется закон Гука, тогда выражение для возвращающей силы будет иметь вид:

Сравнивая этот результат с выражением (4) получаем

Сюда подставим выражение (2)

Получили дисперсионное уравнение для продольных волн, распространяющихся вдоль линейной одноатомной цепочки, где учитывалось взаимодействие только с ближайшими соседями

Здесь знаки «+» и «-» соответствуют волнам, распространяющимся в противоположных направлениях от r-го атома.

39. Анализ закона дисперсии. Первая зона Бриллюэна.

Приступим к анализу уравнения (8).

Кривая представленная на этом рисунке будет иметь такой же вид, если мы учитываем взаимодействие атомов с ближайшими соседями, но с более удаленными. В уравнение (8) мы имеем зависимость от . Обратим внимание на область малых к, кот. соответствует области больших длин волн, а большие длины волн соответствуют макроскопической теории упругости.

1)

Вытекает, что в области больших или низких частот дисперсия отсутствует.

, - скорость звука; - фазовая скорость;

никакой дисперсии нет, - групповая скорость.

, - линейная плотность.

Даже в рамках грубой одномерной модели можно рассчитать коэффициент жесткости , если известна скорость звука в данном твердом теле.

Модуль объемной упругости.

(10) ,

Рассматриваемое низкочастотное приближение справедливо вплоть до Гц.

2) Из приведенного графика видно, что по мере перехода по все более коротким волнам достигает предельного значения.

3) В области промежуточных частот происходит сильная дисперсия скорости звука. В общем виде зависимости фазовой и групповой скорости от к имеют вид:

(11)

Из (11) уравнения видно, что при или при групповая скорость . При этом соседние атомы колеблются в противоположных фазах.

4 )Есть участки кривой на рисунке изображение штриховой линией. Эти участки не имеют физического смысла, т.к. нечему колебаться.

Выше мы говорили, что в кристалле могут возникать упругие волны различных частот, колебания какой-то одной частоты наз. модой колебаний.

Т.о. разрешенная и имеющая физический смысл нормальные моды колебаний - это те волновые числа, которые заключены в интервале .

Эту область значений к наз. первой зоной Бриллюэна одномерной цепочки. Т.о. приходим к выводу, что первая зона Бриллюэна содержит полный спектр колебаний сосредоточенных в этой области. Тот факт, что при групповая скорость = 0, говорит о том, что на границе 1-ой зоны Бриллюэна происходит отражение волны и образуется стоячая волна. Полученное дисперсионное уравнение и наши рассуждения не совсем отражают действительность, поскольку при выводе уравнения (8) мы сделали предположение, что атомы взаимодействуют только с ближайшими соседями. Если снять это ограничение, то оказывается, что решение остается неизменным по форме и, более того, остаются справедливыми условия, которые определяют и ограничивают область разрешенных значений к. Однако уравнение (8) оказывается не совсем правильным, соответствующее ему уравнение окажется более сложным по форме и будет зависеть не только от одной упругой постоянной. Тем не менее, оно покажет переход к сплошной среде при больших и исчезновение .