7. Применение метода наименьших квадратов для оценки параметров кривой роста.

Рассмотрим метод наименьших квадратов на простом примере зависимости между двумя переменными x и y, причем y зависит от x. Если установлено, что связь между ними криволинейная и описывается параболой, т.е. полиномом второй степени, с параметрами a₀, a₁, a₂:

, то задача сводится к отысканию неизвестных трех параметров.

При числе наблюдений (количестве уровней в рядах) n, значения величин x и y представлены двумя рядами данных: y₁, y₂,…,y_n и x₁, x₂,…,x_n.

Если бы все значения, полученные по данным наблюдения, лежали строго на линии, описываемой уравнением параболы, то для каждой точки было бы справедливо следующее равенство:

Однако в действительности , которое существует вследствие ошибок измерения и случайных неучтенных факторов. Необходимо найти такие коэффициенты регрессии, чтобы ошибка была минимальной. Можно минимизировать сумму абсолютных (по модулю) отклонений или сумму кубических отклонений или наибольшую абсолютную ошибку. Однако оптимальным подходом явл минимизация квадрата отклонений

Минимизация квадратов отклонений обладает тем свойством, что число нормальных уравнений равно числу неизвестных параметров. Минимизация суммы

дает три уравнения для каждого из трех параметров. Для нахождения значений неизвестных параметров необходимо приравнять нулю частные производные указанной суммы по этим параметрам:

Проведение простейших преобразований приводит к системе нормальных уравнений:

Решение системы линейных относительно неизвестных параметров уравнений любым из способов дает значения a₀, a₁, a₂. Обычно полиномы выше третьей степени практически не используются, то система нормальных уравнений такого полинома будет состоять соответственно из четырех уравнений. МНК даже при сравнительно небольшом числе наблюдений приводит к получению достаточных оценок. Оценки могут быть точечными и интервальными. Точечные оценки обладают свойствами несмещенности, эффективности, состоятельности, описанными в предыдущем параграфе. Однако любая оценка истинного значения параметра по выборочным данным может быть произведена только с определенной степенью достоверности. Степень этой достоверности определяется путем построения доверительных интервалов.

8. Что такое линеаризация модели? Для каких моделей тренда она применяется? Преимущества и недостатки этого метода.

Линеаризация — (от лат. linearis — линейный), один из методов приближённого представления замкнутых нелинейных систем, при котором исследование нелинейной системы заменяется анализом линейной системы, в некотором смысле эквивалентной исходной. Методы линеаризации имеют ограниченный характер, т. е. эквивалентность исходной нелинейной системы и её линейного приближения сохраняется лишь для ограниченных пространственных или временных масштабов системы, либо для определенных процессов, причем, если система переходит с одного режима работы на другой, то следует изменить и её линеаризированную модель. Применяя линеаризацию, можно выяснить многие качественные и особенно количественные свойства нелинейной системы.

Линеаризация исходной нелинейной модели облегчает решение конкретной задачи исследования. Поэтому для упрощения моделирования и исследования, когда это возможно, желательно заменить нелинейное уравнение приближенным линейным, решение которого с достаточной степенью точности описывает свойство исходной нелинейной системы. Процесс замены нелинейной модели линейной называется линеаризацией.

Если дифференциальное уравнение объекта нелинейно из-за нелинейности его статической характеристики, то для линеаризации уравнения необходимо заменить нелинейную статическую характеристику y = F(x) линейной функцией y = a₀ + a₁x.

Основное содержание идеи линеаризации состоит в том, что различие в решениях нелинейных уравнений и их линеаризованного представления не столь существенны, чтобы приводить к недопустимым ошибкам в смысле требований к точности решения поставленной задачи.

Для линеаризации нелинейной модели y = F(x) чаще всего применяют общепринятый метод малых отклонений. Техника составления линеаризованных уравнений принципиально проста. Математическое обоснование этой процедуры заключается в требованиях к виду нелинейности функции F(x). Для допустимости линеаризации достаточно, что F(x) и существуют и непрерывны в некоторой окрестности точки (x₀, y₀). Тогда линеаризация осуществляется при помощи разложения в ряд Тейлора функции F(x, y) в окрестности точки (x₀, y₀) и отбрасыванием всех нелинейных членов этого ряда . Индекс 0 означает, что производные берутся в точке x = x₀, y = y₀.

Таким образом, исходная нелинейная модель заменяется линейной моделью вида y = a₀ + a₁x,

где ;