21. Модели авторегрессии. Выбор порядка модели. Оценка значимости коэффициентов.

В авторегрессионных (АР) моделях текущее значение процесса представляется как линейная комбинация предыдущих его значений и случайной компоненты. В АР(р) – модели авторегрессии порядка р текущий уровень ряда представляется в виде взвешенной суммы р предыдущих наблюдений:

. Во многих случаях АР-модель оказывается перегруженной незначимыми коэффициентами, которые надо исключить.

АР‑модели не предназначены для описания процессов с тенденцией, однако они хорошо описывают колебания, что весьма важно для отображения развития неустойчивых показателей. Чтобы сделать возможным применение АР-моделей к процессам с тенденцией, на первом этапе формируют стационарный ряд, т. е. исключают тенденцию.

Идентификация АР(р) модели состоит в определении ее порядка р. В сезонной модели авторегрессии порядок выбирается равным периоду сезонности. При отсутствии сезонности начальная оценка порядка параметра р формируется на основе анализа автокорреляционной функции.

Зависимость значений уровней временного ряда от предыдущих (со сдвигом на 1, на 2 и т.д.) уровней того же временного ряда называют автокорреляцией во временном ряду. Для получения числовой характеристики такой внутренней зависимости вычисляют значение коэффициента корреляции между наборами{ }и { }. Задавая величину сдвига  =1, 2, … (обычно  ≤ n/4), получим множество значений коэффициентов корреляции – автокорреляционную функцию r().

График функции r() называется коррелограммой, а величина , которой соответствует наибольший коэффициент автокорреляции – временным лагом. В сезонной модели величина лага равна периоду сезонности.

В качестве порядка модели р принимается номер коэффициента автокорреляции, имеющего максимальную величину. Следовательно, в модели используются р уровней, которые оказывают на текущий уровень наибольшее влияние.«Чистые» авторегрессионные процессы имеют плавно затухающую автокорреляционную функцию (АКФ). В этом случае в качестве порядка модели выбирается лаг, после которого все частные автокорреляционные функции (ЧАКФ) имеют незначительную величину.

Элементы ЧАКФ обозначим _k. Система уравнений Юла-Уокера связывает неизвестные ₁, …, _k со значениями автокорреляции r₁, …, r_k

Решая систему для k = 1, 2, …, из каждого решения выбираем только одно значение _k.

Первые значения ЧАКФ: ₁= r₁,

С помощью МНК получают числовые значения коэффициентов АР(р)-модели. Прогнозные оценки базируются как на фактических, так и на полученных прогнозных уровнях ряда.

Если значения выходят за границы белого шума, есть автокореляця, можно строить авторегрессию.

Наличие сезонности говорит о автокорел связях. Для рядов сезоннсти порядок модели авторегресссии = длине цикла сезонности, если сезонности нет, то порядок авторегресии - наиблший сдвиг (лаг) при кот автокорел ф-ция выходит за границу белого шума.

22. Модели авторегрессии. Применение модели для прогнозирования.

23. Адаптивные модели Брауна. Алгоритм построения линейной модели Брауна.

Модель Брауна может отображать развитие не только в виде линейной тенденции, но также в виде случайного процесса, не имеющего тенденции, а также в виде изменяющейся параболической тенденции. Соответственно различают адаптивные модели Брауна:

• Нулевого порядка. Описывает процессы, не имеющие тенденции развития. Она имеет один параметр a₀ – оценка текущего уровня y(t). Прогноз развития на k шагов вперед осуществляется согласно формуле . Такая модель также называется «наивной» («будет, как было»).

• Первого порядка. . Коэффициент a₀ – значение, близкое к уровню , и представляет как бы закономерную составляющую этого уровня. Коэффициент a₁ определяет прирост, сформировавшийся к моменту t, но отражающий также (правда, в меньшей степени) скорость роста на более ранних этапах.

• Второго порядка. Отражает развитие в виде параболической тенденции с изменяющимися «скоростью» и «ускорением». Она имеет три параметра (a₂ – оценка текущего прироста или «ускорение»). Прогноз осуществляется по формуле: .

Порядок модели обычно определяют либо априорно на основе визуального анализа графика процесса (есть ли тренд и близок ли он к линейной функции), знаний законов развития характера изменения исследуемого явления, либо методом проб, сравнивая статистические характеристики моделей различного порядка на участке ретроспективного прогнозирования.

Рассмотрим этапы построения линейной модели Брауна .

Этап 1. По первым пяти точкам ряда y(t) с помощью метода наименьших квадратов оцениваются начальные значения a₀(0) и a₁(0) параметров модели для линейной аппроксимации:

(t = 1, 2, ..., 5).

Этап 2. С использованием параметров a₀(0) и a₁(0) строят прогноз на один шаг, подставляя t = 0, k = 1: .

Этап 3. Расчетное значение сравнивают с фактическим значением y(t) и вычисляют величину их расхождения (ошибки прогнозирования).

.

Этап 4. В соответствии с этой величиной корректируются параметры модели. В линейной модели Брауна модификация осуществляется следующим образом:

;

,

где  – коэффициент дисконтирования данных (от 0 до 1), характеризующий обесценивание данных за единицу времени и отражающий степень доверия более поздним наблюдениям,  =1– – параметр сглаживания. Значение  можно задать по формуле:  = (N – 3)/(N – 1), а затем оптимизировать. N – длина временного рада.

Этап 5. По модели со скорректированными параметрами a₀(t) и a₁(t) находят прогноз на следующий момент времени.

Возврат к пункту 3, если t < N.

Этап 6. Интервальный прогноз на будущее строят по линейной модели кривой роста, используя a₀(N) и a₁(N) для k = 1, 2, ….