4. Полиномиальные модели тренда и их свойства. Выбор степени полинома. Методы оценки параметров.

Общий вид многочлена :

yt= a₀ + a₁t + a₂t² + ... + a_k t^k , (3.1)

где a₀, a₁, a₂, ... – параметры многочленов, t – независимая переменная, к – показатель степени многочлена. Параметры полиномов невысоких степеней могут быть интерпретированы в зависимости от содержания ряда динамики. Их можно характеризовать как : параметр а0 – уровень ряда при t= 0, параметр a1 – скорость роста, параметр а2 – ускорение роста, параметр а3 – изменение ускорения. Действительно, полином первой степени на графике представляет прямую, т.е. предполагается постоянство приростов ординат.

yt = a₀ +а₁t, (3.2)

yt (0)= a₀,

Линейная зависимость может иметь место в процессах экстенсивного развития, однако это не может происходить в течение длительного периода. Со временем скорость изменяется и либо происходит ускорение, либо спад. Полином второй степени характеризует динамику с равномерными приростами, положительными для одной ветви параболы и отрицательными для другой. Легко показать, что приросты (первые конечные разности ординат параболы) могут быть охарактеризованы уравнением прямой:

.Соответственно приросты второго порядка (вторые разности) постоянны: .

Парабола второй степени применима для описания процессов, характеризующихся равноускоренным ростом или равноускоренным снижением. Если параметр a2>0, то ветви направлены вверх, функция имеет минимум. Если a2< 0, то ветви направлены вниз и парабола имеет максимум. Параметры a0 и a1 не влияют на форму кривой, а только определяют ее положение в пространстве. У параболы третьей степени знак прироста ординат может меняться один или два раза. Первые разности ординат при нанесении на график представляю собой ординаты параболы второго порядка, т.е.

Вторые разности изменяются линейно:

Разности третьего порядка являются постоянными:

5. Экспоненциальные модели тренда и их свойства. Выбор простой или модифицированной экспоненты. Методы оценки параметров.

Простая экспоненциальная кривая является показательной функцией и имеет следующий вид:

Кривая характеризуется постоянными темпами роста и прироста. Темп роста будет равен

, темп прироста равен . Если b >1, то функция является возрастающей с ростом t и убывающей при b<1. Логарифмирование обеих частей функции приводит к линейной зависимости от t:

.

После обозначения α=loga и β=logb получаем:

Экспоненциальный характер наблюдается после достижения определенного уровня присуще многим процессам при достижении определенного уровня. Более сложной является зависимость, называемая логарифмической параболой:

Логарифмирование обеих частей выражения приводит к виду:

,

называемому логарифмической параболой. Темп прироста этой кривой равен отношению первой производной к ординате. Поэтому темп прироста примет вид:

, т.е. темп линейно зависит от времени.

Многочлены не имеют асимптот, а экспоненциальная и логарифмическая параболы имеют асимптоты. У экспоненциальной кривой y t →0 при t → −∞, если b >1, и y t →0 при t → ∞ , если b<1.

Достаточно часто динамика социально-экономических процессов такова, что наблюдается тенденция замедления темпов роста и имеет место насыщение.

Например, расходы домохозяйств на продукты питания по мере роста доходов характеризуются насыщением. В таких случаях кривая должна иметь асимптоту, отличную от нуля. Такому условию удовлетворяет модифицированная экспонента. имеющая вид:

Кривая отличается от обычной экспоненты сдвигом по оси ординат на величину k, поэтому имеет горизонтальную асимптоту y = k , ее линия стремится к асимптоте либо при t → ∞ , либо при t → −∞ . Параметр а равен разности между ординатой кривой (при t = 0) и асимптотой. Если параметр а отрицателен, то асимптота находится выше

кривой, если а положителен, то асимптота проходит ниже ее. Параметр b равен отношению последовательных приростов. Чаще всего встречается кривая с параметрами

а <0 и b<1. Особенность модифицированной экспоненты заключается в том, что отношения последовательных приростов при равномерном распределении ординат по оси

времени постоянны:

А логарифмы приростов ординат кривой линейно зависят от переменной t. Действительно,

Откуда

6. S-образные кривые роста. Выбор логистической кривой или кривой Гомперца. Методы оценки параметров.

В демографических расчетах и некоторых расчетах в области страхового бизнеса используется S – образная кривая, или кривая Гомперца:

Наибольшее применение находит кривая, у которой log a <0 и b <1. Траектория кривой имеет четыре различных этапа. На первом этапе прирост медленно увеличивается с ростом t , затем скорость возрастает, затем после прохождения точки перегиба приросты начинают уменьшаться и, наконец, вблизи от асимптоты приросты снова замедляются. Кривая Гомперца имеет особенность: отношение последовательных приростов ординат в логарифмах постоянно.

Логарифмирование выражения приводит к известной модифицированной экспоненте:

Для нахождения линейного преобразования характеристик приростов и уровней относительно t можно определить темп прироста с помощью производной:

Логарифмирование полученного результата дает

линейное выражение:

Если в модифицированной экспоненте y t заменить обратной величиной 1/ y t, то преобразованное выражение дает логистическую кривую:

Логистическая кривая, или кривая Перла-Рида записывается в виде:

где e- основание натуральных логарифмов, f (t) – функция от t, например, f (t) = −at .

Если b=1, а вместо основания натуральных логарифмов взять основание десятичных логарифмов и положить f (t) = a + bt , то получится логистическая кривая, центрально симметричная относительно точки перегиба:

При t → −∞ ордината стремится к нулю, а при t → +∞ ордината стремится к асимптоте. Если взять вторую производную от y t по времени для функции и приравнять ее нулю, то местоположение точки перегиба кривой , в этой точке .

Преобразование приростов и ординат кривой, линейное относительно t, находится вычислением производной функции :

Полученное выражение легко приводится к линейному относительно t делением на

y_t² и логарифмированием полученного результата:

Рассмотренные кривые могут описывать процессы технологического развития, расширения товарных рынков, реализации инвестиционных проектов.