§14. Центр поверхности 2го порядка. Классификация поверхности по характеру места их центра.

Определение: хордой поверхности 2го порядка называется отрезок который соединяет 2 точки этой поверхности. Центром поверхности 2го порядка называется точка, в которой все хорды поверхности 2го порядка делятся пополам. Следовательно центром поверхности 2го порядка называется центр симметрии поверхности 2го порядка. Пусть поверхность задана уравнением (1):

Рассмотрим прямую (2)

Проходящую через т. M₀ и не имеющую ассимптотических направлений (L≠0). Подставим (2) в (1) – получим (3):Lt²+Mt+N=0, где L,M,N имеют вид (4) (5) (6). Пусть прямая пересекает поверхность в 2х точках (t₁;t₂). Если M₀ – середина отрезка то t₁+t₂=0, а значит M в (3) M=0, для любого l,m,n, т.е.:

Таким образом координаты центра поверхности 2го порядка можно определить, как решение системы (1):

Используя критерий Кронекера-Капелли возможны 4 случая: 1.) r(A)=3 →r(B)=3 (5)

Тогда система (4) имеет единственное решение → поверхность (1) имеет единственный центр – точку. Поверхность называется центральной. (5) выполняется для всех повыерхностей 1ой группы 2.) r(A)=2, r(B)=3 (6) Система (4) несовместна, и поверхность называется центральной. (6) выполняется для всех поверхностей 2ой группы.

3.) r(A)=2, r(B)=2 (7). (4) совместна. Множество решений – прямая, называется прямая центров. (7) выполняется для 3ей группы.

4.) r(A)=1, r(B)=2 (8) Система (4) несовместима, центров нет, бесконечно удалённая прямая центров. (8) – 4ая группа.

5.) r(A)=1, r(B)=1 (9) (4) совместна, бесконечное число решений – плоскость центров. (9) – 5ая группа.

§13 Касательна плоскость и нормаль к пов. Второго пор

Опр. Касательной прямой к пов. 2го пор. в данной на ней неособой точке, наз. прямая, проходящая через эту точку и пересек. пов. 2го пор. в 2-кратной точке или явл. прямолинейной образующей данной пов.

Теорема Касательн. прямые пов. 2го пор. в данной на ней неособой точке Мо(х₀,у₀,z₀) всегда лежат в одной пл., которая наз. касательной пл. к пов.2го пор. и ур. этой касательной: (2)

Док пусть пов. 2го пор. задана относительно ОДСК ур(1) 2F(х,у,z)=a₁₁x²+a₂₂y²+2a₁₂xy+2a₁₃x+2a₂₃y+a₃₃z²+2a₁₃xz+2a₂₃yz+2a₃₄z+a₄₄=0

Пусть (3) ур. прямой, проходящей через М₀.

Подставим (3) в (1)=>(4)

Поскольку Мо лежит на пов. (1) то N=0=>в (4) t=0 и это значение соотв. т.Мо.

Поскольку т. Мо была кратной или чтобы прямая цеком принадлежала пов. <=> чтобы М=о т..е чтобы Мо удовл. ур. (5)

При этом если L 0, точка пересек. с пов. двойная, а если L=0, то прямая целиком лежит на пов.

Из соотнош. (5) и (3) => коорд. (х,у,z) любой точки М, лежащей на касательной к ур.(1) всегда удовл. ур(2) справедливо и обратное, если коорд. т.М удовл. (2) то тогда будут удов. коорд(5)

А значит МоМ будет касательно к пов(1). Поскольку хотябы 1 из коэф в(2) , то ур(2) явл. ур. превой степени, которое в пространстве опр. плоскость.(Док)

Опр. Нормалью к пов. (1) в т.Мо наз. прямая прох. через. т.Мо и перпенд. касательной пл., прох. через эту же точку.: (6)