§8. Конус 2-го порядка.

Конусом 2-го порядка называется поверхность, уравнение которой в некоторой специально выбранной ПДСК имеет вид : (1)

Поскольку в (1) x,y,z входят с чётными степенями, то если точка M(x,y,z) (1), то и точки (±x,±y,±z) тоже (1) → точка О(0;0;0) является центром симметрии поверхности (1) и называется центром эллипсоида. Оси координат – это оси симметрии и называются главными осями. Координатные плоскости являются плоскостями симметрии и называются главными плоскостями. Oz – ось конуса. Если M₀(x₀;y₀;z₀) конусу и не совпадает с вершиной – то тогда конусу принадлежат и все точки вида (λx₀;λy₀;λz₀). Следовательно и вся пряма OM₀. Поверхность (1) образована прямыми проходящими через точку O и достаточно рассмотреть только сечение плоскостями параллельными XOY:

В сечении будут эллипсы с полуосями:

Чем меньше h – тем меньше конус.

§9. Эллиптический параболоид.

Эллиптическим параболоидом 2-го порядка называется поверхность, уравнение которой в некоторой специально выбранной ПДСК имеет вид : (1) q,p>0.

Oz – ось симметрии эллиптического параболоида и называется осью эллиптического параболоида. Поскольку в (1) x,y входят с чётными степенями, то XOY и YOZ являются плоскостями симметрии и называются главными плоскостями. Точка O – точка пересечения параболоида с его осью и называется вершиной. Рассмотрим сечение с плоскостью:

1. || XOY

В результате получим: при h<0 – Ø; h=0 – вершину параболы; h>0 – эллипс с полуосями. . Чем больше - h тем больше размер эллипса.

2. || XOZ

В итоге получаем параболу с вершиной в точке (0;h;h²/2q).

Аналогично будет с плоскостями в сечении YOZ.

§5.Эллипсоид

Эллипсоидом называется уравнение поверхности которой в специально выбранной ПДСК имеет вид: (1)

Определим по Ур. (1) вид поверхности. Поскольку в (1) x,y,z входят с четными степенями, то если точка М( x, y, z) лежит на поверхности (1), то и точки (± x, ± y, ± z) также принадлежат поверхности (1). Следовательно точка О является центром симметрии (1) и называется центром эллипсоида. Оси координат являются осями симметрии и называются главными осями. Координатные плоскости являются плоскостями симметрии и называются главными плоскостями. Вершинами эллипсоида являются точки пересечения эллипсоида его главными осями.

(± a, 0, 0) (0, ± b, 0) (0, 0, ± c)

Из уравнения (1) следует, что │x│ ≤ a │y│≤ b │z│≤ c

Следовательно эллипсоид лежит внутри прямоугольного параллелепипеда с вершинами (± a, ± d, ± c).

Рассмотрим сечение эллипсоида плоскостями параллельными координатным плоскостям.

Плоскость параллельна XOY

│h│>c пересечений нет.

│h│=с в пересечении будет одна точка. Следовательно плоскости z = ± c являются касательными к эллипсоиду. │h│< c то в сечении будет эллипс с полуосями

Аналогично при сечении эллипсоида плоскостями параллельными XOZ и YOZ получим эллипсы. Следовательно в ПДСК эллипсоид имеет следующий вид: