- •§1. Цилиндрические и канонические поверхности.
- •§2. Поверхности вращения
- •§3. Общее уравнение пов. II-го порядка. Привидение общего ур. Пов. II-го порядка к простейшим уравнениям пов. II-го порядка.
- •§8. Конус 2-го порядка.
- •§9. Эллиптический параболоид.
- •§5.Эллипсоид
- •§6.Однополосный гиперболоид
- •§7.Двуполостной гиперболоид
- •§10. Гиперболический параболоид.
- •§11.Цылиндры второго порядка
- •§12 .Перетин поверхні другого пор. З прямою. Асимптотичні напрямкию.
- •§15. Визначення кононічного рівняння поверхні по ортогональним інваріантам
- •§4.Поверхности, которые определяются общим уравнением поверхности второго порядка.
- •§14. Центр поверхности 2го порядка. Классификация поверхности по характеру места их центра.
- •§13 Касательна плоскость и нормаль к пов. Второго пор
§3. Общее уравнение пов. II-го порядка. Привидение общего ур. Пов. II-го порядка к простейшим уравнениям пов. II-го порядка.
Поверхностью II-го порядка наз, ГМТ, которое в некоторой дек. сист. координат задается уравнением вида:
В курсе общей алгебры была доказана
Теорема 1:
Всякая квадратичная форма
может быть преведена к каноническому виду так, чтобы преобразованнная форма не содерж. членов с произведениями переменных, взятых попарно. При чем коеф. приобраз. формы являються корнями характеристического уравнения
Теорема 2: Общее уравнение поверхности второго порядка вида (1) задано относительно ОДСК при помощи преобразования СК в ПДСК всегда можна преобразовать к одному из 5 следующих уравнений:
Доказательство перейдем от ОДСК к ПДСК. Поскольку при этом порядок уравнений не меняется, то уравнение 1 перейдёт в уравнение такого же вида. Поэтому уравнение (1) уж задано в ПДСК. По теореме 1 можно от ПДСК перейти к новой ПДСК OX`Y`Z` так, что в новой сист. координат уравнение 1 преобразуется к виду
новые оси координат у единичных векторов
1) Если λ1, λ2, λ3,не равны, и не равны 0, то получаем единственную тройку осей
2) λ1 равно λ2, не равно λ3, - находим OZ`, а оси OX` OY` располагаем перпендикулярно к ней, чтобы они образ правую тройку
3) λ1, λ2, λ3, равны => квадрат форма имеет вид λ(x2+y2+z2)
1.Тогда
Произведем перенос сист. координат OX`Y`Z` так, чтобы новым началом стала точка
В итоге получим I
2. Пусть λ1, λ2,не равно 0 λ3, равно 0 а34 не равно 0.
Тогда получим
Перенесём начало координат так, чтобы новым центром стала точка:
в итоге получим II
3. Пусть λ1, λ2,не равно 0 λ3, равно 0 а34 не равно 0.
Тогда получим
Перенесём начало координат так, чтобы новым центром стала точка:
в итоге получим III
4. λ1, λ2=0 а24 либо а34 не равно, тогда если а24 не равно 0, а34 равно 0:
Если а24 равно 0, а34 не равно 0:
т.е. уравнение IV типа
5. λ2, λ3, равно 0 а24 = а34 равно 0.
перенеся оси координат получим уравнение V.