§6.Однополосный гиперболоид

Однополосным гиперболоидом называется поверхность уравнение которой в некоторой, специально выбранной, ПДСК имеет вид (1)

Поскольку в (1) x, y, z, входят с четными степенями, то если М(x, y, z) принадлежит (1), то трочки (± x, ± y, ± z) принадлежат (1).

О(начало координат) – центр симметрии (центр однополосного гиперболоида); координатные оси (главные оси) – оси симметрии; координатные плоскости (главные плоскости) – плоскости симметрии. Вершины – точки пересечения однополосного гиперболоида с осями симметрии: (± а, 0, 0) (0, ± b, 0) Рассмотрим сечение плоскостями параллельными XOY

В сечении всегда получаем эллипс с полуосями

Наименьший эллипс лежит в плоскости XOY.

Рассмотрим сечение плоскостями параллельными YOZ.

Если │h│<a, то имеем гиперболу с действительной осью параллельной OY и мнимой осью параллельной OZ

│h│>a гипербола с действительной осью параллельной OZ и мнимой параллельной OY.

Аналогично сечение плоскостью параллельной XOZ получаем гиперболу.

§7.Двуполостной гиперболоид

Определение: двуполостным гиперболоидом называется поверхность, уравнение которой в специально выбранной ПДСК имеет вид (1) поскольку в (1) x,y,z – в четной степени. Следовательно, О – центр симметрии и называется центром двуполостного гиперболоида; оси координат – оси симметрии- главные оси. Координатные плоскости – плоскости симметрии и называются главными плоскостями. Вершины – точки пересечения его с главными осями. рассмотрим сечения плоскостями: 1) , Если |h|<с, то пересечения нет , |h|=с, то в пересечении точка вершины , если |h|>с , то получим следовательно, в сечении всегда будет эллипс с полуосями . 2) в результате имеем гиперболу с действенной осью ||OZ и мнимой осью ||OY.

Аналогично в сечении плоскости || линиями ХOZ

§10. Гиперболический параболоид.

Это пов-сть,ур-ние которой спец. Выбранной ПДСК имеет вид:

; p,q>0 (1)

Ось OZ-ось симметрии,ось параб.

x,y-в четных степенях,пл-ти

XOZ,YOZ-пл-ти симметрии,

Главные пл-ти.

1) Сечение пл-ти II XOY:

; z=h.

Если h<0 – в сечении имеет гиперб. с действ. Осью II OY и мнимой II OX.

Если h=0 – две пересек.прямые

Если h>0 – гипербола с действ. осью

II OX и мнимой II OY.

2) II XOZ:

;y=h; ;y=h;

;y=h.

имеет параболы с вершинами

в точк.

Аналогично сечения пл-тями II YOZ

§11.Цылиндры второго порядка

Существует 3 типа:

1)Эллиптический

2)Гиперболический

3)Параболический

Эти пов-ти,образ.прямыми,прох.

Через точки эллипса, гиперболы, параболы и перпендикулярной пл-ти

Каждой из этих линий.Эти линии наз.

Направляющими, а прямые – его образующими.

(+рисунки от руки 1-3).