§1. Цилиндрические и канонические поверхности.

Опр. Уравнение поверхности в ОДСК наз. ур. вида: F(x,y,z)=0, которому удовлетвопряют координаты любой точки, лежащей на этой поверхности и не удовл. корд. точек, не леж. на этой поверхности.

Цилиндрической поверхностью наз. поверхность, которая может быть образована непрерывным поступательным движением прямой, во время которого она пересекает некоторую прям. φ.

φ – направляющая а сама прямая – образующая.

Т-ма 1.

Если в пространстве введ. ОДСК и у-е F(x,y)=0, в плоскости XOY явл. у-нием цилиндрической поверхности с направл. линией φ и образующими , параллельными оси OZ.

Д-во

Если взять т М(х,у,z), то М`(х,у,0) є с

F(x,y)=0 – Ур-ние цилиндр. поверхности.

Т-ма 2.

Если цилиндрическая поврхность, направл. которой является линия С, а образующая параллельна некоторой прямой l, не лежащей в плоскости линии С, то тогда сущ. сист. координат, в которой ур. поверхности П имеет вид: F(x,y)=0

Д-во

Введем ОДСК ОXYZ, совмещая плоскость XOY с плоскостью, в которой располож. линия С и принимаем за ось OZ ось, параллельную l.

Пусть F(x,y)=0 – уравнение линии С в плоскости XOY, тогда по теореме 1 во вновь получ. СК это уравнение являеться уравнением П.

Название поверхности дается в зависимости от направляющей кривой.

Дальше идут примеры эллиптического цилиндра, гиперболического и параболического.

Конической поверхностью наз. пов., которая может быть получена в результате непрерывного поступательного движения прямой, в процессе прохождения через 1 и ту же точку(вершина конуса) и пересек. некоторую прям. φ, наз образующей.

Ф-ция F(x,y,z) наз. однородной к-того порядка, если для любого λ: F(λx, λy, λz)= λ^kF(x,y,z)

Т-ма 3:

Если ур. F(x,y,z)=0, где F(x,y,z) – однородная функция в декартовой сист. корд. является у-ем. поверхн. П, то тогда эта поверхность явл. конической причём вершина конуса лежит в нач. коорд.

Д-во

Пусть т. М(x,y,z) є поверхности П и не совпадает с началом координат, тогда очевидно, этой же поверхн. П будет є любая точка с корд. (λx, λy, λz), поскольку F(λx, λy, λz)= λ^kF(x,y,z)

Поскольку λ прин. все действ. значения, то т-ки (λx, λy, λz) описывают всю прямую, прох. через т.М и начало координат, поскольку т. (λx, λy, λz) делит отрезок МО в отношении (1-λ)/ λ ; (x+(1- λ)/ λ)/( x+(1- λ)/ λ)= x+(1- λ)/ λx

Следовательно, если на поверхности П лежит какая-нибудь т-ка, не совпадающая с началом координат, то тогда на ней лежит и вся прямая, прох. через эту т-ку и начало корд., т.е поверхность П образована прямыми, проход. через начало координат., т.е. явл. ур. конической поверхности с верш в т.О.

§2. Поверхности вращения

Поверхностью вращения наз. поверхность., обладающая след. свойством: любое ее сечение плоскостью, прох. через точку поверхности и перпендикулярна некоторой прямой l (ось вращения) содержит окружность (параллель), центр которой лежит на прямой l и проходит через взятую точку.

Меридианной поверхности вращения наз. и сечение полуплоскостью, ограничен. осью вращения и таким образом пов. вращения может быть и получен вращением её любого меридиана вокруг оси l.

Т-ма

Пусть относит. ПДСК XOY задан. меридиан линии С, который вращается и его уравнение пока F(x,y)=0

Тогда ур. поверхности , образован. вращением линии C вокруг оси ОХ в ПДСК OXYZ имеет след. вид : (1)

Д-во

Рассм. произв. т-ку М(x,y,z). Очевидно, расстоян. от неё до оси ОХ: , тогда если т.М є пов. вращения, то тогда т.Р пл-сти XOY с коорд. всегда будет лежать на меридиане, если вполн. условие (1).