- •§1. Цилиндрические и канонические поверхности.
- •§2. Поверхности вращения
- •§3. Общее уравнение пов. II-го порядка. Привидение общего ур. Пов. II-го порядка к простейшим уравнениям пов. II-го порядка.
- •§8. Конус 2-го порядка.
- •§9. Эллиптический параболоид.
- •§5.Эллипсоид
- •§6.Однополосный гиперболоид
- •§7.Двуполостной гиперболоид
- •§10. Гиперболический параболоид.
- •§11.Цылиндры второго порядка
- •§12 .Перетин поверхні другого пор. З прямою. Асимптотичні напрямкию.
- •§15. Визначення кононічного рівняння поверхні по ортогональним інваріантам
- •§4.Поверхности, которые определяются общим уравнением поверхности второго порядка.
- •§14. Центр поверхности 2го порядка. Классификация поверхности по характеру места их центра.
- •§13 Касательна плоскость и нормаль к пов. Второго пор
§12 .Перетин поверхні другого пор. З прямою. Асимптотичні напрямкию.
Асимптотичний конус. Конус асимптотично напрямлений
Припустимо що відносно ПДСК поверхня 2-го пор. задана загальним рівнянням
Розглянемоперетин з прямою
(2)
-напрямний
підставимо в рівняння поверхні вираз (2) та згрупуємо подібні
(3)
Вирішивши (3) ми отримаємо координати точки перетину підставимо знайдені значення t в (2)
При цьому можливі наступні випадки
1) (7)(напрямний вектор називається асимптотичним напрямком відносно поверхні (1) якщо він задовольняє рівняння (7)
Очевидно в цьму випадку пряма або перетинає поверхню в одній точці
a)
б) -не перетинаэ
в) -є нескінченне число рішень, а значить пряма належить повершні
Рівняння (8)є однорідним, то воно визначаєв просторі конічну повершню утворену прямими, що проходять через початок координат і координати точки M що лежить на твірній конуса є координатами вектора
Відповілно твірні конуса (8)- це прямі що мають асимптотичний напрямок поверхні справедливе і обернене
Конусом асимптотичних напрямків – наз ГМТ прямих, що проходять через точку M і мають відносно пов. Асимптотичний напрямок Рівнянн цього конуса має вигляд
Конус асимптотитчно напрямлений отримується із асимптотичного конуса паралельним переносом
2)
- два кореня які співпадають
в даному випадку маємо дві точки з дійсними чи умовними координатами
точка M назив. Особливою точкою поверхні якщо
Якщо хоча б одна з часткових похідних в точці M не дор. 0 то така точка наз. особливою.
§15. Визначення кононічного рівняння поверхні по ортогональним інваріантам
Розглянемо пов. 2-го роду задану відносно ОДСК
Рівнянням (1) Введемо наступні позначення
Можемо переконатися що даний вираз є ортогональним інваріантом
Для випадку поверхні яка має пряму центрів інваріантом буде
Якщо поверхня має площину центрів
То для неї орт. Інваріантом буде
§4.Поверхности, которые определяются общим уравнением поверхности второго порядка.
Т - ма: Общее уравнение поверхности второго порядка
Заданной относительно ОДСК выражает одну из следующих 17 поверхностей:
група |
Каноническое уравнение |
Название |
|
I |
1 |
|
Элипсоид |
2 |
|
Мнимый элипсоид |
|
3 |
|
Однополосный гиперболоид |
|
4 |
|
Двуполосный гиперболоид |
|
5 |
|
Конус |
|
6 |
|
Мнимый конус |
|
II |
7 |
|
Эллиптический параболоид |
8 |
|
Гиперболический параболоид |
|
III |
9 |
|
Элептический цилиндр |
10 |
|
Мнимый Эллиптический цилиндр |
|
11 |
|
2 мнимых пересек. плоскости |
|
12 |
|
Гиперболический цилиндр |
|
13 |
|
Пересек. плоскости |
|
IV |
14 |
|
Параболический цилиндр |
V |
15 |
|
2 паралельные плоскости |
16 |
|
2 мнимые паралельные плоскости |
|
17 |
|
2 совпадающие плоскости |
Док: уравнение (1) может быть сведено к одному из следующих 5 простейших:
I.
1) Пусть в (I) одного знака, а D им имеет знак противоположнынй.
То получим уравнение эллипсоида.
2) и D имеют один знак Мнимый эллипсоид.
3) один знак, а потивоположный.
Однополосный гиперболоид.
4) , одного, а противоположного.
Двопол. Гиперболоид.
5)D = 0 одного знака,а потивоположного.
Уравн. Конуса.
6) D = 0 одного знака Мнимый конус.
(II)
7) одного знака
p и q будут одного знака (выбираем положительное направление оси OZ можна добится того, чтобы знак был противлположным знаку тогда p и q > 0) мы получим каноническое уравнение эллиптического параболоида.
Аналогично моно рассмотреть простейшее уравнение для III, IV, V групп.