§18 Диаметр, сопряженный данному неасимтотическому направлению. Сопряженные направления и диаметры. Особые и неособые направления.

Рассм. кривую 2го пор. заданую в ОДСК ур(1).

2F(x,y)=a₁₁x²+2a₁₂xy+a₂₂y²+2a₁₃x+2a₂₃y+a₃₃=0 (1) и прямую х=х₀+lt, у=у₀+mt (2)

Общие точки (1) и (2) находится из ур.(3): Lt²+2Mt+N=0, L=а₁₁l²+2а₁₂lm+а₂₂m²

N=2F(х₀,у₀)

Прямая наз. хордой линии 2го пор. γ, если она соединяет 2 ее точки.

Теорема1 ГМ середин хорд линии второго пор. заданой относительно ОДСК ур(1) паралельных вектору неасимт. напр. (L 0) явл. прямой, ур. которой имеет вид.: l(a₁₁x+a₁₂y+a₁₃)+m(a₁₂x+a₂₂y+a₂₃)=0 (4)

Дов необхпусть линия задана ур(1), прямая ур(2) и коэф.L в (3) 0. Пусть прямая пересек. линию γ в М1и М2. Эти точки соотв. корням t1,t2 (3)

пусть Мо - середина М1М2, t0=(t1+t2)/2 координаты на пл.

Мс є (2) => t=(t1+t2)/2=0

По Т.Виета => С=-2М/4 =>М=0.

l(a₁₁x0+a₁₂y0+a₁₃)+ m(a₁₂x0+a₂₂y0+a₂₃)=0 =>т.Мо(х₀,у₀)-середина М1М2 удовл. (4)

Дост пусть Мо(х₀,у₀) лежит на (4) прямая пересек в М1 иМ2, то t1,t2 кори (3), поскольку Мо(х₀,у₀) лежит на (4), то t1+t2=0 =>Мо – середина М1М2.(/Док)

Покажем что в (4) коэф. при х у одновременно неравны 0.

la₁₁x+la₁₂y+ma₁₂x+a₂₂ym+ma₂₃+la₁₃=0 иначе

L=0 имеем асимпт. напр. что противоречит условию.Если в кривой 2го пор. провести все хорды одного и того же направления, то ГМ середин этих хорд представ. прямую, которая наз. диаметром данной линии, сопряженным рассматр. параллельным хордам и ур. этого диаметра – ур(4)

Из §17, темы 2 =>коорд. центра (х₀,у₀) линии (1)удовл. ур(4) =>меняя напр. паралельных хорд мы получаем бесконечное множество диаметров, однако все они проходят через центр данной кривой.

Из ур(4) и (6) можна найти коорд. {l¹,m¹}направляющего вектора, сопряженного хордам, паралельным ненулевому вектору {l,m}неасимпт. напр.

(7)

(8)

(8) необх. и дост. условие связывающее коорд. {l,m} 0 паралел. хордам линии(1) и коорд. вектора {l¹,m¹} паралел. диаметру, сопряж. этим хордам.

Опр. напр. хорд и напр. сопряж. им диаметра наз. сопряженными направлениями относительно данной кривой они связ. сист. сист.(7)

Соотношение (7) выполняется также и в случае, если положить l=l¹, m=m^1, мы тогда получим L=0, потому асимпт. напр. линий 2го пор. часто наз. самоспряженным

Если в (8) l 0,l¹ 0, то ур имеет вид (9)

k=m/l, k¹=m¹/l¹

В (9) левая часть симметрична относительно k¹ и k, то данное условие явл. симметр, а именна: если диаметр с угл. коэф. k¹ сопряженый хордам с угл. коэф. k, то и диаметр с угл. коэф. k сопряжен хордам с угл. коэф. k¹. таким образом, если если мы получаем пару диаметров, из которых каждый делит пополам хорды параллел. другому диаметру, то такие 2 диаметр. наз. сопряженными между собой. необх. и дост. усл. сопряженности 2 диаметров – это равенство(8)

Если рассм. ур (4) и(6), то напр. меняя {l,m} наз особым если выполняется (10)

Иначе наз неособенным.

Для неособого ур(4) это ур. диаметра, каждое особое напр. явл. асимптическим.

Но обратное неверно. например при δ 0 сист (10) имеет единственное решение (0,0) =>{l,m}={0,0}

Для каждой центральной линии все направления неособенные в том числе и оба асимпт., когда они существуют.

Если δ=0, то сист(10) с точностью до колинеарности имеет единственное нетривиальное решение l/m=-a₁₂/a₁₁

Для нецентральный δ=0 существует единственное особое напр.